2023-Inp-Pc-corrigé

CCINP 2023 — PC — Mathématiques

Les trois exercices sont indépendants.

Exercice 1 — Endomorphisme cyclique

Soit {f} un endomorphisme d’un espace vectoriel {E} de dimension {n\geq1}. On note {f^0=\operatorname{id}_E} et {f^p} la composée de {p} copies de {f} pour {p\geq1}.

On dit que {f} est cyclique s’il existe {v\in E} tel que {(v,f(v),\ldots,f^{n-1}(v))} soit une base de {E}. Les trois premières parties étudient des exemples ; la dernière traite le cas diagonalisable.

I — Étude d’un premier exemple

On considère {f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2} défini par {f(x,y)=(4x-2y,x+y)}.

Q 1. En considérant {v=(1,0)}, montrer que {f} est cyclique.
Q 2. Déterminer les valeurs propres de {f} et une base de chacun de ses sous-espaces propres.
Q 3. Existe-t-il {w\ne0} tel que {(w,f(w))} ne soit pas une base de {\mathbb R^2} ?

II — Étude d’un deuxième exemple

La matrice de {g:\mathbb R^3\to\mathbb R^3} dans la base canonique est {M=\begin{pmatrix}0&-1&1\\[8pt]-1&0&-1\\[8pt]1&-1&0\end{pmatrix}.}

Q 4. Montrer que {g^2=g+2\operatorname{id}_{\mathbb R^3}}.
Q 5. Montrer que {M} est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.
Q 6. L’endomorphisme {g} est-il cyclique ?

III — Étude d’un troisième exemple

On fixe {n\geq2} et on définit, sur {\mathbb R_n[X]}, {\Delta(P)=P(X+1)-P(X).}Par exemple, {\Delta(X^2)=2X+1}.

Q 7. Montrer que {\Delta} est un endomorphisme de {\mathbb R_n[X]}.
Q 8. Pour {k\in\llbracket0,n\rrbracket}, développer {\Delta(X^k)}.
Q 9. En déduire que, si {P} est non constant, {\deg\Delta(P)=\deg P-1}.
Q 10. Montrer que {\Delta} est cyclique.

IV — Cas d’un endomorphisme diagonalisable

Soit {h} un endomorphisme diagonalisable d’un espace complexe {E} de dimension {n\geq1}. On choisit une base propre {\mathcal B=(v_1,\ldots,v_n)}, avec {h(v_k)=\lambda_kv_k}.

Pour {v\in E}, on écrit {v=\alpha_1v_1+\cdots+\alpha_nv_n}.

Q 11. Montrer que, pour {p\geq1}, {h^p(v)=\alpha_1\lambda_1^pv_1+\cdots+\alpha_n\lambda_n^pv_n.}
Q 12. Pour {\mathcal F=(v,h(v),\ldots,h^{n-1}(v))}, montrer que {\det_{\mathcal B}(\mathcal F)=\alpha_1\cdots\alpha_n\prod_{1\leq i\lt j\leq n}(\lambda_j-\lambda_i).}
Q 13. Conclure que {h} est cyclique si et seulement s’il admet {n} valeurs propres distinctes.

Exercice 2 — La fonction dilogarithme

On admet {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2=\pi^2/6}.

I — Existence et premières propriétés

On considère {f(t,x)=\frac{t}{e^t-x},\ t>0,\quad x\leq1.}

Q 14. Justifier que {f} est bien définie sur {]0,+\infty[\times]-\infty,1]}.
Q 15. Montrer que {t\mapsto f(t,1)} est intégrable sur {]0,+\infty[}.
Q 16. Pour {x\leq1}, montrer par comparaison avec {f(t,1)} que {t\mapsto f(t,x)} est intégrable sur {]0,+\infty[}.

On définit donc la fonction dilogarithme {L:]-\infty,1]\to\mathbb R} par {L(x)=x\int_0^{+\infty}f(t,x)\,dt.}

Q 17. Montrer que {L} est continue sur {]-\infty,1]}.

II — Développement en série entière

On fixe {x\in[-1,1]} et, pour {n\in\mathbb N}, on pose {s_n(t)=te^{-(n+1)t}x^n} pour {t>0}.

Q 18. Montrer que {\int_0^{+\infty}s_n(t)\,dt} converge et vaut {x^n/(n+1)^2}.
Q 19. Montrer que {\sum\limits_{n\geq0}s_n} converge simplement sur {]0,+\infty[} et que sa somme est {f(t,x)}.
Q 20. Montrer que {\sum\limits_{n\geq1}x^n/n^2} converge et en déduire {L(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n^2}.}
Q 21. Montrer que, pour {x\in[-1,1]}, {L(x)+L(-x)=\frac12L(x^2)}.
Q 22. Déterminer {L(1)} et {L(-1)}.

III — Une autre propriété

Pour {x\in]0,1[}, on pose {h(x)=L(x)+L(1-x)+\ln x\ln(1-x).}

Q 23. Justifier que {L} est dérivable sur {]-1,1[} et montrer que {L'(x)=\left\{\begin{array}{ll}-\dfrac{\ln(1-x)}x&\text{si }x\ne0,\\[8pt]1&\text{si }x=0.\end{array}\right.}
Q 24. Montrer que {h} est constante sur {]0,1[}.
Q 25. Montrer que {h(x)=L(1)} pour {x\in]0,1[}, puis calculer {\int_0^{+\infty}t/(2e^t-1)\,dt}.

Exercice 3 — Un jeu de société

On fixe des entiers {M\geq2} et {A\geq1}. Un pion part de la case {0} d’un parcours infini dont les cases sont numérotées par {\mathbb N}. À chaque tour, il avance d’un nombre de cases tiré uniformément dans {\llbracket0,M-1\rrbracket}. Le jeu se termine dès qu’il atteint ou dépasse la case {A}.

Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et uniformes sur {\llbracket0,M-1\rrbracket}. On pose {S_0=0} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Si {S_n\lt A} pour tout {n\geq1}, on pose {T=0}. Sinon, {T=\min\{n\geq1:S_n\geq A\}}. L’objectif est de déterminer l’espérance de {T} dans deux cas particuliers.

I — Préliminaires

I.1 — Modélisation

Q 26. Que représentent {X_n} et {S_n} dans la situation présentée ?
Q 27. Que représente {T} ?

I.2 — Calcul de la somme d’une série entière
On considère {f(x)=1/(1-x)} sur {]-1,1[}.

Q 28. Montrer que {f\in\mathcal C^\infty(]-1,1[)} et que {f^{(p)}(x)=\frac{p!}{(1-x)^{p+1}}\quad(p\in\mathbb N).}
Q 29. Pour {p\in\mathbb N}, montrer que {\sum\limits_{n\geq p}\binom np x^n} a pour rayon de convergence {1}.
Q 30. En développant {f} en série entière, montrer que, pour {|x|\lt 1}, {\sum_{n=p}^{+\infty}\binom np x^n=\frac{x^p}{(1-x)^{p+1}}.}

II — Étude d’un premier cas

Dans cette partie uniquement, {M=2}.
II.1 — Loi de {S_n} et de {T}

Q 31. Montrer que {S_n} suit la loi binomiale de paramètres {n} et {1/2}.
Q 32. Quelles sont les valeurs prises par {T} ?
Q 33. Pour {k\geq A}, exprimer {(T=k)} à l’aide de {(S_{k-1}=A-1)} et {(X_k=1)}, puis montrer que {\mathbb P(T=k)=\binom{k-1}{A-1}2^{-k}.}
Q 34. Calculer {\mathbb P(T=0)}.

II.2 — Espérance de {T}
La fonction génératrice {G_T} est donnée par la série {\sum\limits_{k\geq A}\mathbb P(T=k)x^k} sur son intervalle de convergence.

Q 35. Déterminer son rayon {R_T} et montrer que, pour {|x|\lt R_T}, {G_T(x)=\left(\frac{x}{2-x}\right)^A.}
Q 36. En déduire le nombre moyen de tours pour terminer la partie.

III — Étude d’un second cas

On suppose désormais {A\leq M}.
III.1 — Calcul de {\mathbb P(S_n\leq k)}
On admet la formule {\sum_{\ell=0}^k\binom{n+k-\ell}{n}=\binom{n+1+k}{n+1}\ (k,n\in\mathbb N).}

Q 37. En utilisant le système complet {(X_{n+1}=\ell)_{0\leq\ell\leq M-1}}, montrer que, pour {n\geq1} et {0\leq k\leq A-1}, {\mathbb P(S_{n+1}\leq k)=\frac1M\sum_{\ell=0}^k\mathbb P(S_n\leq k-\ell).}
Q 38. Montrer par récurrence sur {n\geq1} que, pour {0\leq k\leq A-1}, {\mathbb P(S_n\leq k)=\frac1{M^n}\binom{n+k}n.}

III.2 — Espérance de {T}
On rappelle que, pour une variable {Z} à valeurs dans {\mathbb N}, la convergence de {\sum\limits_{n\geq0}\mathbb P(Z>n)} entraîne l’existence de son espérance et l’égalité {\mathbb E(Z)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\mathbb P(Z>n)}.

Q 39. Comparer {(T>n)} et {(S_n\lt A)} pour {n\in\mathbb N}. En déduire que {T} admet une espérance et calculer sa valeur.