2023-E3a-Pc-corrigé

E3A-Polytech 2023 — PC — Mathématiques

Les quatre exercices sont indépendants.

Exercice 1

Soient {E} un espace vectoriel réel de dimension {n\geq1} et {u\in\mathcal L(E)} tel que {u^2-3u+2\operatorname{id}_E=0.\qquad(\star)}

1. L’endomorphisme {u} est-il diagonalisable ?
2. Déterminer les valeurs propres possibles {\alpha} et {\beta} de {u}, avec {\alpha\lt \beta}.

3. On pose {v=u-\alpha\operatorname{id}_E} et {w=u-\beta\operatorname{id}_E}.

3.1. Déterminer {v-w} et en déduire {E=\operatorname{Im}(v)+\operatorname{Im}(w)}.
3.2. Préciser {v\circ w} et {w\circ v}.
3.3. Prouver que {\operatorname{Im}(w)\subset\ker(v)} et {\operatorname{Im}(v)\subset\ker(w)}.
3.4. Démontrer que {E=\ker(v)\oplus\ker(w)}.
4. Comment déterminer une base de {E} dans laquelle la matrice de {u} est diagonale ?

5. Application. On suppose {\dim E=3} et l’on munit {E} d’une base {\mathcal B=(e_1,e_2,e_3)} dans laquelle la matrice de {u} est {U=\begin{pmatrix}1&1&0\\[8pt]0&2&0\\[8pt]-1&1&2\end{pmatrix}.}

5.1. Vérifier par le calcul que {u} satisfait {(\star)}.
5.2. Déterminer les matrices {V} et {W} de {v} et {w}.
5.3. Déterminer une base {\mathcal B_1} de {\ker(v)} et une base {\mathcal B_2} de {\ker(w)}.
5.4. Déterminer une matrice diagonale {D} et une matrice inversible {P} telles que {U=PDP^{-1}}.

Exercice 2

Questions de cours

1. Soit {\alpha\ne0}. Donner le développement limité à l’ordre {2} en {0} de {(1-x)^\alpha}, puis un équivalent de {1-(1-x)^\alpha}.
2. Pour {a>0} et {b\in\mathbb R}, choisir sans justification l’expression correcte de {a^b} : (A) {e^{b\ln a}} ; (B) {e^{a\ln b}} ; (C) {e^{\ln a\ln b}}.

Dans la suite de cet exercice, {n} est un entier fixé supérieur ou égal à {2}.

3. Pour {k\in\mathbb N}, on pose {a_k=1-(1-2^{-k})^{n-1}} et, pour {k\geq1}, {u_k=a_{k-1}-a_k}.

3.1. Montrer que la série de terme général {u_k} converge et calculer sa somme.
3.2. Montrer que la série de terme général {a_k} converge. On note {S_n} sa somme, que l’on ne cherchera pas à calculer.

4. Étude d’une variable aléatoire

4.1. Démontrer que {u_k>0} pour tout {k\geq1}.
4.2. Sur {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, une variable {X_n} à valeurs dans {\mathbb N^*} vérifie {\mathbb P(X_n=k)=\lambda u_k} pour {k\geq1}. Déterminer {\lambda}.
4.3. Montrer que {X_n} admet une espérance et que {\mathbb E(X_n)=S_n}.

5. Pour {t\in\mathbb R}, on pose {f_0(t)=0} et, pour {p\geq1}, {f_p(t)=1-(1-e^{-t})^p}.

5.1. Montrer que {I_p=\int_0^{+\infty}f_p(t)\,dt} converge pour tout entier {p\geq0}.
5.2. Calculer {I_{p+1}-I_p} pour tout {p\in\mathbb N}.
5.3. En déduire {I_{n-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}1/k}.

6. Un encadrement

6.1. Prouver que, pour {k\geq1}, {\frac1{k+1}\leq\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}\leq\frac1k.}
6.2. En déduire {\ln n\leq I_{n-1}\leq1+\ln(n-1)}.
7. On définit {g_n(t)=1-(1-2^{-t})^{n-1}} pour {t\geq0}. Montrer que, pour {m\geq2}, {\sum_{k=1}^ma_k\leq\int_0^mg_n(t)\,dt\leq\sum_{k=0}^{m-1}a_k.}
8. Pour {\beta>0}, montrer que {\int_0^\beta g_n(v)\,dv=\frac1{\ln2}\int_0^{\beta\ln2}f_{n-1}(u)\,du.}
9. Démontrer que {\mathbb E(X_n)-1\leq\frac{I_{n-1}}{\ln2}\leq\mathbb E(X_n).}
10. Donner un équivalent simple de {S_n} lorsque {n\to+\infty}.

Exercice 3

Soit {E} un espace euclidien de dimension {n\geq2}. Pour {u\in E\setminus\{0\}}, on définit {\varphi_u(x)=2\frac{\langle x,u\rangle}{\langle u,u\rangle}u-x.}

1. Étude de {\varphi_u}

1.1. Montrer que {\varphi_u} est un endomorphisme de {E}.
1.2. Calculer {\varphi_u\circ\varphi_u}, montrer que {\varphi_u} est un automorphisme et déterminer son inverse.
1.3. Pour {x\in E}, calculer {\langle\varphi_u(x),\varphi_u(x)\rangle}.
1.4. Montrer que {\varphi_u} conserve le produit scalaire.
1.5. On note {D_u=\mathbb Ru} et {H_u=D_u^\perp}. Déterminer l’image de {D_u} par {\varphi_u}, puis en déduire sans calcul que {H_u} est stable par {\varphi_u}.
1.6. Reconnaître la nature géométrique de {\varphi_u} et donner ses éléments caractéristiques.

2. Un exemple en dimension trois

Dans {\mathbb R^3} muni du produit scalaire canonique, on considère {H=\{(x,y,z):x+y+z=0\}}.

2.1. Donner la dimension et une base orthonormale de {H^\perp}.
2.2. Écrire les matrices, dans la base canonique, des projections orthogonales sur {H^\perp} et sur {H}.
2.3. Pour un vecteur unitaire {v\in H^\perp}, écrire la matrice de {\varphi_v} dans la base canonique.

3. Étude d’une réciproque

Soit {\psi\in\mathcal L(E)}. On suppose qu’il existe une droite {\Delta} telle que {\psi(x)=x} sur {\Delta} et {\psi(x)=-x} sur {\Delta^\perp}.

3.1. Montrer que {\psi^2=\operatorname{id}_E} et que {\psi} conserve le produit scalaire.
3.2. Montrer qu’il existe un vecteur {u\ne0} tel que {\psi=\varphi_u}.

Exercice 4

Pour {n\in\mathbb N} et {x\in\mathbb R}, on pose {I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)\,dt.}

1. Étudier la parité des fonctions {I_n}.
2. Prouver que les fonctions {I_n} sont de classe {\mathcal C^1} sur {\mathbb R}.
3. Démontrer que, pour tout réel {x} et tout {n\in\mathbb N}, {I'_n(x)=-\frac{x}{2(n+1)}I_{n+1}(x).}
4. Prouver par récurrence sur {k} que chaque {I_n} est de classe {\mathcal C^k} sur {\mathbb R}.

On fixe désormais {n\in\mathbb N}.

5. Calcul de {I_n(0)}

5.1. Déterminer une relation entre {I_{p+1}(0)} et {I_p(0)}, pour {p\in\mathbb N}.
5.2. En déduire l’expression de {I_n(0)} à l’aide de factorielles.
6. Calculer, à l’aide de factorielles, {\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{(2k+1)k!(n-k)!}.}
7. Donner le développement en série entière de {u\mapsto\cos u} au voisinage de {0} et son domaine de validité.
8. Montrer que {I_n} est développable en série entière au voisinage de {0} et préciser le domaine de validité. Donner chaque coefficient sous forme d’une intégrale et citer précisément les théorèmes utilisés.
9. Quel résultat démontré antérieurement retrouve-t-on pour {I_n} ?