2024-Centrale-Mp2-corrigé

Centrale-Supélec 2024 — Mathématiques 2 — MP, MPI

Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
Notations
Dans tout le problème, {\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}.
On note {\mathbb K[X]} le {\mathbb K}-espace vectoriel des polynômes à coefficients dans {\mathbb K}.
Pour tout {d\in\mathbb N}, {\mathbb K_d[X]} désigne le {\mathbb K}-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à {d}.
On note {\mathbb U} le groupe multiplicatif des nombres complexes de module {1}.
Objectifs du problème
Soit {h} une fonction de {\mathbb K} dans {\mathbb K}. On dit qu’une fonction {f} de {\mathbb K} dans {\mathbb K} est solution de l’équation {(E_h)} sur {\mathbb K} si
{\forall x\in\mathbb K,\quad f(x+1)-f(x)=h(x).\qquad(E_h)}Le but du problème est l’étude de l’équation {(E_h)}.
La partie I de ce problème étudie l’existence de solutions dans le cas où {h} est polynomiale.
La partie II introduit la définition et établit quelques propriétés des fonctions entières.
La partie III définit les polynômes de Bernoulli et explicite une solution polynomiale à l’équation {(E_h)}, ainsi qu’une application analytique de ces polynômes.
La partie IV étend la résolution de {(E_h)} au cas où {h} est une fonction entière.

I — Étude de l’opérateur différence finie

On considère l’application {\Delta} définie par
{\Delta:\left\{\begin{array}{rcl}\mathbb K[X]&\longrightarrow&\mathbb K[X],\\[8pt]P(X)&\longmapsto&P(X+1)-P(X).\end{array}\right.}

Q 1. Montrer que {\Delta} est un endomorphisme de {\mathbb K[X]}.
Q 2. Soit {P\in\mathbb K[X]}. Déterminer le degré de {\Delta(P)} en fonction de celui de {P}.
Q 3. Montrer que, pour tout {d\in\mathbb N^*}, {\Delta} induit un endomorphisme sur {\mathbb K_d[X]}.

On note {\Delta_d} l’endomorphisme de {\mathbb K_d[X]} induit par {\Delta}.

Q 4. Déterminer {\operatorname{Ker}(\Delta_d)} et {\operatorname{Im}(\Delta_d)} pour tout {d\in\mathbb N^*}.
Q 5. En déduire {\operatorname{Ker}(\Delta)} et {\operatorname{Im}(\Delta)}. Appliquer les résultats obtenus à l’étude de l’équation {(E_h)} dans le cas où {h} est une fonction polynomiale.
Q 6. On suppose, pour cette question seulement, que {h} est la fonction {x\mapsto x}. Déterminer une solution de {(E_h)} dans {\mathbb K_2[X]}, puis toutes les solutions polynomiales de l’équation {(E_h)}.
Q 7. Soit {d\in\mathbb N^*}. Déterminer un polynôme annulateur de {\Delta_d}. L’endomorphisme {\Delta_d} est-il diagonalisable ?

II — Fonctions entières

On note {\omega} l’application de {[0,1]} dans {\mathbb C} définie, pour tout {t\in[0,1]}, par {\omega(t)=\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}}.

II.A — Généralités

On note {\mathcal E} l’ensemble des fonctions {f:\mathbb C\to\mathbb C} développables en série entière de rayon de convergence infini.

Q 8. Justifier que si {(f,g)\in\mathcal E^2} et {(\lambda,\mu)\in\mathbb C^2}, alors {\lambda f+\mu g\in\mathcal E} et {fg\in\mathcal E}.
Q 9. Soit {f\in\mathcal E} dont on note {\sum a_nz^n} le développement en série entière. Montrer que, pour tout {k\in\mathbb Z},
{\begin{array}{l}\displaystyle\int_0^1 f(\omega(t))\omega(t)^{-k}\,\mathrm dt\\[8pt]\displaystyle\quad=\left\{\begin{array}{ll}a_k&\text{si }k\in\mathbb N,\\[8pt]0&\text{sinon}.\end{array}\right.\end{array}}

II.B — Une intégrale

Pour tout {p\in\mathbb Z}, on pose
{I_p=\int_0^1\frac{\omega(t)^{p+1}}{\mathrm e^{\omega(t)}-1}\,\mathrm dt.}

Q 10. Vérifier que cette intégrale est bien définie pour tout {p\in\mathbb Z}.
Q 11. Montrer qu’il existe une fonction {\beta\in\mathcal E} et une constante {C\in]0,1[} telles que, pour tout {\zeta\in\mathbb U},
{\mathrm e^\zeta-1=\zeta(1+\zeta\beta(\zeta)),\qquad |\beta(\zeta)|\leq C.}
Q 12. En déduire que, pour tout {\zeta\in\mathbb U} et tout {p\in\mathbb Z},
{\frac{\zeta^p}{\mathrm e^\zeta-1}=\sum_{j=0}^{+\infty}(-1)^j\zeta^{j+p-1}\beta(\zeta)^j.}
Q 13. Montrer que {I_0=1} et que, pour tout {p\in\mathbb N^*}, {I_p=0}.

III — Polynômes de Bernoulli

Pour tout {n\in\mathbb N} et tout {z\in\mathbb C}, on définit dans cette partie
{B_n(z)=n!\int_0^1\frac{\mathrm e^{z\omega(t)}}{(\mathrm e^{\omega(t)}-1)\omega(t)^{n-1}}\,\mathrm dt.}

III.A — Lien avec l’équation {(E_h)}

Q 14. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N} et tout {z\in\mathbb C},
{B_n(z)=n!\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}I_{k-n}.}En déduire que {B_n} est un polynôme unitaire de degré {n}.
Q 15. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*}, {B_n'=nB_{n-1}}.
Q 16. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*} et tout {z\in\mathbb C}{B_n(z+1)-B_n(z)=nz^{n-1}.}
Q 17. En déduire l’expression d’une fonction polynomiale vérifiant l’équation {(E_h)} sur {\mathbb C} lorsque {h} est une fonction polynomiale.

III.B — Unicité

Q 18. Montrer que {(B_n)_{n\in\mathbb N}} est l’unique suite de polynômes vérifiant
{\left\{\begin{array}{l} B_0=1,\\[8pt] B_n'=nB_{n-1}\quad(n\geq1),\\[8pt] \displaystyle\int_0^1 B_n(t)\,\mathrm dt=0\quad(n\geq1). \end{array}\right.}
Q 19. Soit {(H_n)_{n\in\mathbb N}} la suite de polynômes définie par {H_n(X)=(-1)^nB_n(1-X)}. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N}, {H_n=B_n}.

III.C — Une application analytique

Soit {\psi} la fonction de {\mathbb R} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {x\in\mathbb R},
{\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{x}{\mathrm e^x-1}&\text{si }x\ne0,\\[8pt]1&\text{sinon}.\end{array}\right.}Soit de plus {u} la fonction de {\mathbb R^2} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {(x,t)\in\mathbb R^2},
{u(x,t)=\psi(x)\mathrm e^{tx}.}

Q 20. Montrer que {u} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R^2}.
Q 21. Pour tout {(x,t)\in\mathbb R^2}, calculer {\dfrac{\partial u}{\partial t}(x,t)} puis montrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*},
{\begin{array}{rl} \displaystyle\frac\partial{\partial t}\frac{\partial^n u}{\partial x^n}(x,t) &=\displaystyle x\frac{\partial^n u}{\partial x^n}(x,t)\\[8pt] &\displaystyle\quad+n\frac{\partial^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}(x,t). \end{array}}

Pour tout {n\in\mathbb N}, soit {A_n} la fonction de {\mathbb R} dans {\mathbb R} telle que, pour tout {t\in\mathbb R},
{A_n(t)=\frac{\partial^n u}{\partial x^n}(0,t).}

Q 22. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N}, {A_n=B_n}.

IV — Solution entière de l’équation {(E_h)}

IV.A — Une inégalité de contrôle

On se propose dans cette partie de montrer par l’absurde la propriété {\mathcal P} :
{\begin{array}{l} \exists c>0,\ \forall n\in\mathbb N,\ \forall z\in\mathbb C,\\[8pt] |z|=(2n+1)\pi\ \Longrightarrow\ |\mathrm e^z-1|\geq c. \end{array}}On suppose que {\mathcal P} est fausse.

Q 23. Montrer l’existence d’une suite d’entiers naturels {(n_p)_{p\in\mathbb N}} et d’une suite de nombres complexes {(z_p)_{p\in\mathbb N}} telles que
{\begin{array}{l}\mathrm e^{z_p}\underset{p\to+\infty}{\longrightarrow}1,\\[8pt]|z_p|=(2n_p+1)\pi\quad(p\in\mathbb N).\end{array}}

Pour tout {p\in\mathbb N}, on note {a_p=\operatorname{Re}(z_p)} et {b_p=\operatorname{Im}(z_p)}.

Q 24. Montrer que {a_p\to0} et que {|z_p|-|b_p|\to0} lorsque {p\to+\infty}.
Q 25. Pour tout {p\in\mathbb N}, on note
{\varepsilon_p=\left\{\begin{array}{rl}+1&\text{si }b_p\geq0,\\[8pt]-1&\text{si }b_p\lt 0.\end{array}\right.}En étudiant {\exp(z_p-\mathrm i\varepsilon_p|z_p|)}, aboutir à une contradiction et conclure.

IV.B — Une solution à {(E_h)}

Pour tout {n\in\mathbb N}, on définit maintenant
{\gamma_n:\left\{\begin{array}{rcl}[0,1]&\longrightarrow&\mathbb C,\\[8pt]t&\longmapsto&(2n+1)\pi\mathrm e^{2\mathrm i\pi t}.\end{array}\right.}Pour tout {n\in\mathbb N} et tout {z\in\mathbb C}, soit
{Q_n(z)=n!\int_0^1\frac{\mathrm e^{z\gamma_n(t)}}{(\mathrm e^{\gamma_n(t)}-1)\gamma_n(t)^{n-1}}\,\mathrm dt.}

Q 26. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N}, {Q_n\in\mathcal E}.
Q 27. Montrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*} et tout {z\in\mathbb C}{Q_n(z+1)-Q_n(z)=nz^{n-1}.}
Q 28. Montrer qu’il existe deux constantes {a,b\in\mathbb R_+^*} telles que, pour tout {n\in\mathbb N^*} et tout {z\in\mathbb C},
{|Q_n(z)|\leq a\mathrm e^{bn|z|}.}
Q 29. En déduire l’existence d’une solution dans {\mathcal E} à l’équation {(E_h)} lorsque {h\in\mathcal E}.