(Oral X Mp/Mpi)
Pour {n\geqslant1}, on note {E_n} l’ensemble des applications {f:\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}} telles que {f(i)\leqslant i} pour tout {i}.
Question a)
Dénombrer {E_n}.
Dénombrer {E_n}.
Question b)
On choisit {f_n} uniformément dans {E_n} et on pose {X_n=\min\{k\geqslant1:f_n^k(n)=f_n^{k-1}(n)\}}. Déterminer sa loi, son espérance et sa variance.
On choisit {f_n} uniformément dans {E_n} et on pose {X_n=\min\{k\geqslant1:f_n^k(n)=f_n^{k-1}(n)\}}. Déterminer sa loi, son espérance et sa variance.
Question c)
Calculer {\mathbb P(f_n^{X_n}(n)=k)}.
Calculer {\mathbb P(f_n^{X_n}(n)=k)}.