(Oral Ens Mp/Mpi)
Une partie d’un espace normé est dite séparable lorsqu’elle possède une partie dense au plus dénombrable.
Question a)
Montrer qu’un espace normé de dimension finie est séparable.
Montrer qu’un espace normé de dimension finie est séparable.
Question b)
Montrer que toute partie {B} d’une partie séparable {A} est séparable.
Montrer que toute partie {B} d’une partie séparable {A} est séparable.
Question c)
Soit {A} séparable et soit {(\Omega_i)_{i\in I}} un recouvrement de {A} par des ouverts relatifs. Montrer qu’il possède un sous-recouvrement au plus dénombrable.
Soit {A} séparable et soit {(\Omega_i)_{i\in I}} un recouvrement de {A} par des ouverts relatifs. Montrer qu’il possède un sous-recouvrement au plus dénombrable.
Question d)
Étudier la réciproque.
Étudier la réciproque.