Intégration (1/3)

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Fonctions en escaliers

${[a,b]}$ est un segment de ${\mathbb{R}}$ et ${a\lt b}$ .

D. Subdivisions d'un segment

On appelle subdivision de

{[a,b]}

toute suite finie

{(x_0=a\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b)}

.
L'ensemble

{\{a=x_0,\ldots,x_k,\ldots,x_n=b\}}

est appelé le support de la subdivision.
La quantité

{h=\max(x_{k+1}-x_k)}

est appelée le pas de la subdivision.

R. Finesse d'une subdivision

Soit

{\sigma}

{\sigma'}

deux subdivisions de

{[a,b]}

.
On dit que

{\sigma}

est plus fine que

{\sigma'}

si le support de

{\sigma}

contient celui de

{\sigma'}

La subdivision notée ${\sigma\cup\sigma'}$ et dont le support est la réunion de ceux de ${\sigma}$ et de ${\sigma'}$ est plus fine que chacune des subdivisions ${\sigma}$ et ${\sigma'}$ .

Réciproquement si une subdivision de ${[a,b]}$ est plus fine que ${\sigma}$ et ${\sigma'}$ , alors elle est plus fine que ${\sigma\cup\sigma'}$ .

D. Fonctions en escaliers sur un segment

Soit

{\varphi}

une fonction définie sur

{[a,b]}

, à valeurs dans

{\mathbb{K}}

.
On dit que

{\varphi}

est en escaliers sur

{[a,b]}

s'il existe une subdivision

{\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}}

{[a,b]}

et
s'il existe

{n}

scalaires

{\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}}

tels que :

{\forall\, k=0,\ldots,n-1,\;\forall\, t \in\;]x_k,x_{k+1}[,\;\varphi(t)=\lambda_k}

On dit alors que la subdivision

{\sigma}

est adaptée (ou encore subordonnée) à la fonction

{\varphi}

.
On note

{\mathcal{E}([a,b],\mathbb{K})}

l'ensemble des fonctions en escaliers sur

{[a,b]}

et à valeurs dans

{\mathbb{K}}

R. Illustration

La figure ci-dessous représente une fonction en escaliers

{\varphi}

sur le segment

{[a,b]}

, à valeurs réelles.

On n'a pas représenté les valeurs de ${\varphi}$ aux points ${x_k}$ , car ces valeurs sont sans importance.

R. Remarques et propriétés

Si ${\sigma}$ est une subdivision adaptée à ${\varphi}$ , toute subdivision plus fine que ${\sigma}$ est adaptée à ${\varphi}$ .
Les fonctions constantes sur ${[a,b]}$ sont des cas particuliers de fonctions en escaliers.
Si ${\varphi}$ et ${\psi}$ sont en escaliers sur ${[a,b]}$ , alors : ${\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\;\alpha \varphi+\beta \psi}$ est en escaliers sur ${[a,b]}$ .
Plus généralement, toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers est encore en escaliers.
De même le produit ${\varphi\psi}$ est en escaliers sur ${[a,b]}$ .

D. Fonctions en escaliers sur I

Soit

{I}

un intervalle de

{\mathbb{R}}

d'intérieur non vide. Soit

{\varphi}

une fonction de

{I}

dans

{\mathbb{K}}

.
On dit que

{\varphi}

est en escaliers sur

{I}

{\varphi}

est en escaliers sur tout segment de

{I}

Par exemple, l'application "partie entière" ${x\mapsto\lfloor x\rfloor}$ est en escaliers sur ${\mathbb{R}}$ .

Fonctions continues par morceaux

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Intégrale de fonctions en escaliers

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