Espaces vectoriels (1/3)

• {E} est muni d'une loi interne + pour laquelle il a une structure de groupe commutatif.
• Il existe une application {(\alpha,u)\to\alpha u} de {\mathbb{K}\times E} dans {E}, dite loi externe, telle que,
  pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}, et pour tous {u,v} dans {E} :
  {\begin{cases}(\alpha\!+\!\beta)u=\alpha u\!+\!\beta u, \ \alpha(u\!+\!v)=\alpha u\!+\!\alpha v\\[3pts] \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u,\qquad\ 1u=u&\end{cases}}

• on a l'équivalence : {\alpha u=0\Leftrightarrow(\alpha=0\;\text{ou}\; u=0)}.
• on a les égalités : {\begin{cases}\alpha(-u)=(-\alpha)u=-(\alpha u)\\[3pts]\alpha(u-v)=\alpha u-\alpha v\end{cases}}

• L'ensemble {\mathbb{K}[X]} des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
• L'ensemble {\mathbb{K}} est un espace vectoriel sur lui-même, la loi externe étant ici le produit de {\mathbb{K}}.

Si {E} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel, {E^n} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.

L'ensemble {\mathbb{K}^n=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n),\text{les\ }x_i\in\mathbb{K}\}} est un {\mathbb{K}}-espace vectoriel (et ici {0=(0,0,\ldots,0)}).

Le vecteur nul de {\mathcal{F}(X,E)} est "l'application nulle", qui à tout {x} de {X} associe le vecteur nul {0} de {E}.

Pour {X=\mathbb{N}} et {E=\mathbb{K}}, on obtient le {\mathbb{K}}-espace vectoriel {\mathbb{K}^{\mathbb{N}}} des suites d'éléments de {\mathbb{K}}.