Deprecated: stripos(): Passing null to parameter #1 ($haystack) of type string is deprecated in /var/www/html/wp-includes/functions.wp-styles.php on line 90
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⇧① Propriétés d'une loi. Neutre. Inverse. Distributivité. ② Structure de groupe. Sous-groupes. ③ Structure d'anneau. Sous-anneau. Corps.12③
Structure d’anneau
D. Structure d'anneau
Soit {A} un ensemble muni de deux lois de composition, notées {+} et {\times}.
On dit que {(A,+,\times)} est un anneau si :
{(A,+)} est un groupe commutatif (son neutre est en général noté {0}).
La loi {\times} est associative et distributive par rapport à l'addition.
Il existe un élément neutre pour le produit {\times} (en général noté {1}).
Si de plus la loi {\times} est commutative, on dit que {(A,+,\times)} est un anneau commutatif.
R. Exemples
{(\mathbb{Z},+,\times)}, {(\mathbb{Q},+,\times)}, {(\mathbb{R},+,\times)} et {(\mathbb{C},+,\times)} sont des anneaux commutatifs.
Soit {(A,+,\times)} un anneau de neutres {0} (pour la loi {+}) et {1} (pour la loi {\times}).
Il est possible que les deux éléments {0} et {1} de {A} soient identiques!
Mais dans ce cas {A} se réduit à {\{0\}} (anneau nul, sans grand intérêt).
P. Groupe des inversibles d'un anneau
Soit {(A,+,\times)} un anneau.
L'ensemble des éléments de {A} qui sont inversibles pour le produit est un groupe pour la loi {\times}.
Par exemple, le groupe des inversibles de l'anneau {(\mathbb{Z},+,\times)} se réduit à la paire {\{-1,1\}}, et le groupe des inversibles de l'anneau {(\mathbb{R},+,\times)} est l'ensemble de tous les réels non nuls.