Calcul intégral (4/5)

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R. Contexte de cette partie

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide

{I}

{\mathbb{R}}

.
On notera

{\mathbb{K}}

pour désigner indifféremment

{\mathbb{R}}

{\mathbb{C}}

, et on parlera de fonctions à valeurs dans

{\mathbb{K}}

Position du problème

D. Équation différentielle d'ordre 1

Soit

{I}

un intervalle ouvert non vide.
Soit

{x\mapsto a(x)}

{x\mapsto b(x)}

deux fonctions continues sur

{I}

, à valeurs dans

{\mathbb{K}}

.
On dit que (E) :

{y'+a(x)y=b(x)}

est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
On note

{(H)}

l'équation différentielle :

{y'+a(x)y=0}

.
On dit que

{(H)}

est l'équation différentielle homogène associée à

{(E)}

R. Compléments sur la définition

Résoudre (on dit aussi "intégrer") l'équation

{(E)}

(resp. l'équation

{(H)}

) c'est trouver toutes les fonctions dérivables

{y:I\to\mathbb{K}}

qui vérifient l'égalité

{(E)}

(resp. l'égalité

{(H)}

) sur

{I}

On pourra noter ${\mathcal{S}_{E}}$ (resp. ${\mathcal{S}_{H}}$ ) l'ensemble des solutions de ${(E)}$ (resp. de ${(H)}$ ) sur ${I}$ .

À la fois pour ${(E)}$ et pour ${(H)}$ , la "solution générale" désigne une expression (en fonction d'une constante d'intégration, comme on le verra) de toutes les "solutions particulières".

P. Solution de y'+ay=0 où a est constant

On considère l'équation homogène

{(H):\ y'+a\,y=0}

où

{a}

est un élément de

{\mathbb{K}}

(

{\,\mathbb{R}\;\text{ou}\;\mathbb{C}}

).
La solution générale de

{(H)}

sur

{\mathbb{R}}

est donnée par

{y(x)=\lambda\,\text{e}^{-ax}}

, où

{\lambda}

est quelconque dans

{\mathbb{K}}

R. Remarque sur l'intervalle de résolution

Les résultats de cette section peuvent être étendus aux équations différentielles qui se présentent sous la forme

{u(x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}

, où

{u,v,w}

sont des fonctions numériques continues.

Mais il faut alors obligatoirement se placer sur un intervalle sur lequel la fonction ${x\mapsto u(x)}$ ne s'annule pas (de manière à revenir, en divisant par ${u(x)}$ , à la forme précédente, dite "normalisée").

Par exemple, pour résoudre ${x(1-x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}$ , il faudra absolument commencer par dire qu'on se place sur l'intervalle ${I=]-\infty,0\,[}$ , ou ${I=\,]\,0,1\,[}$ , ou ${I=\,]\,1,+\infty\,[}$ .

Résolution de ${y'\!+\!a(x)y\! =\!0}$

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Résolution de ${y'\!+\!a(x)y\!=\!b(x)}$

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Principe de superposition

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Problème de Cauchy

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Position du problème

Résolution de {y'\!+\!a(x)y\! =\!0}

Résolution de {y'\!+\!a(x)y\!=\!b(x)}

Principe de superposition

Problème de Cauchy

Résolution de ${y'\!+\!a(x)y\! =\!0}$

Résolution de ${y'\!+\!a(x)y\!=\!b(x)}$