Calcul intégral (3/5)

On note {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})} l'ensemble des fonctions définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}, à valeurs complexes.
Une telle fonction numérique complexe {f} est définie de façon unique par la donnée de deux fonctions numériques réelles {u} et {v} de la manière suivante : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;f(t)=u(t)+i\,v(t)}

Il revient au même d'écrire : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;u(t)=\text{Re}(f(t))\;\text{et}\; v(t)=\text{Im}(f(t))}.
On dit que {u} est la partie réelle de {f}, et {v} sa partie imaginaire. On note {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.

Si on doit représenter graphiquement une telle fonction {f}, le mieux est d'imaginer un arc paramétré du plan, trajectoire du point {M(t)} d'affixe {f(t)=u(t)+i\,v(t)} quand le paramètre {t} parcourt l'intervalle {I}.

Si {f,g} sont dans {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})}, et si {\alpha,\beta} sont dans {\mathbb{C}}, on peut former les fonctions suivantes :

• La fonction {\alpha f+\beta g} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\alpha f+\beta g)(t)=\alpha\,f(t)+\beta\,g(t)}
• La fonction {\overline{f}} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\overline{f})(t)=\overline{f(t)}}
• La fonction {fg} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(fg)(t)=f(t)g(t)}