Deprecated: stripos(): Passing null to parameter #1 ($haystack) of type string is deprecated in /var/www/html/wp-includes/functions.wp-styles.php on line 90
Deprecated: WP_Dependencies->add_data() est appelé avec un argument qui est obsolète depuis la version 6.9.0 ! Les commentaires conditionnels IE sont ignorés par tous les navigateurs pris en charge. in /var/www/html/wp-includes/functions.php on line 6260 Intégration (4/5) - Mathprepa
⇧① Fonctions cpm. Intégrale sur un segment. ② Intégrales généralisées. Intégrales de référence. ③ Propriétés et calcul des intégrales généralisées. ④ Intégrabilité. Comparaisons. Suites/séries d’intégrales. ⑤ Continuité/dérivabilité des intégrales à paramètre.123④5
On se place sur un intervalle ouvert {I=\,]a,b[}, avec {-\infty\le a\lt b\le +\infty}. Les énoncés restent valables sur un intervalle semi-ouvert {I=[a,b[} ou {I=\,]a,b]}.
Rappelons que si {f} est continue par morceaux sur {I}, il en est de même de {\left|f\right|}, de {f^{+}}, et de {f^{-}}.
Fonctions intégrables
D. Intégrale absolument convergente
Soit {f\colon ]a,b[\,\to \mathbb{K}} une fonction continue par morceaux.
On dit que {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} est absolument convergente si {\displaystyle\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|\,\text{d}t} est convergente.
P. Convergence absolue ⇒ convergence
Soit {f\colon ]a,b[\,\to \mathbb{K}} une fonction continue par morceaux, avec {-\infty\le a\lt b\le +\infty}.
Si {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} converge absolument, alors elle converge et {\Big|\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t\Big|\le \displaystyle\int_{a}^{b}\left|f(t)\right|\,\text{d}t}.
D. Intégrabilité sur un intervalle
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, d'extrémités {a} et {b}, avec {-\infty\le a\lt b\le +\infty}. Soit {f} dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}.
On dit que {f} est intégrable sur {I} si l'intégrale {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} est absolument convergente.
Cette intégrale est notée {\displaystyle\int_{I}f(t)\,\text{d}t}, ou plus simplement {\displaystyle\int_{I}f}.
P. Une définition équivalente
Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, d'extrémités {a} et {b}, avec {-\infty\le a\lt b\le +\infty}. Soit {f} dans {\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}.
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
la fonction {f} est intégrable sur {I};
il existe {M\ge0} tel que, pour tout segment {[\alpha,\beta]\subset\,]a,b[}, on ait :{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\left|f(t)\right|\,\text{d}t\le M}.
R. Remarques sur l'intégrabilité
L'intérêt de l'intégrabilité est qu'on se concentre sur les propriétés des fonctions positives.
Si {f} est continue par morceaux sur le segment {[a,b]}, alors elle y est évidemment intégrable, et il n'y a pas de contradiction dans les notations de l'intégrale!
Une évidence : dire que {f} est intégrable sur {I}, c'est dire que {\left|f\right|} est intégrable sur {I}.
De même, si {f} est à valeurs réelles : {f} est intégrable si et seulement si {f^{+}} et {f^{-}} le sont.
Dans le même ordre d'idée, si {f} est à valeurs réelles et garde un signe constant, il n'y a aucune différence entre l'intégrabilité de {f} sur {I=\,]a,b[} (ou {[a,b[}, ou {]a,b]}) et la convergence de l'intégrale {\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t}.
Si {f} est à valeurs complexes, elle est intégrable si et seulement si {\text{Re}(f)} et {\text{Im}(f)} le sont.
De la même manière (et c'est évident) : {f} est intégrable sur {I} si et seulement si {\overline{f}} l'est.
R. Un exemple important
Il est possible que {\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\,\text{d}t} converge mais qu'elle ne converge pas absolument.
L'exemple classique est {f\colon t\mapsto\dfrac{\sin(t)}{t}}, qui n'est pas intégrable sur {\mathbb{R}^{+}}.
On montre que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin(t)}{t}\,\text{d}t=\dfrac{\pi}{2}}, mais {\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|\sin(t)\right|}{t}\,\text{d}t=+\infty}.