Espaces vectoriels normés (3/4)

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Ouverts d’un espace normé

D. Point intérieur

Soit

{E}

un espace vectoriel normé, soit

{X}

une partie de

{E}

et soit

{a}

un élément de

{E}

.
On dit que

{a}

est intérieur à

{X}

s'il existe

{r>0}

tel que

{B(a,r)}

soit incluse dans

{X}

.
Remarque évidente : les points intérieurs à

{X}

(s'il en existe) sont des éléments de

{X}

D. Ouvert d'un espace normé

Soit

{X}

une partie d'un espace vectoriel normé

{E}

.
On dit que

{X}

est un ouvert si tous les points de

{X}

sont intérieurs à

{X}

.
Important : si

{\dim(E)\lt \infty}

, le fait que

{X}

soit ouvert ne dépend pas de la norme.

P. Une boule ouverte est un ouvert

Soit

{E}

un espace vectoriel normé. Toute boule ouverte de

{E}

est un ensemble ouvert.

R. Premières propriétés

les ensembles ${E}$ et ${\emptyset}$ sont des cas (très) particuliers d'ouverts de ${E}$ ;
une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert;
une intersection finie d'ouverts est un ouvert.

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