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⇧① Isométries. Matrices orthogonales. Endos symétriques. ② Orientation, b.o.n. directes. Produit mixte/vectoriel. ③ Classification des isométries en dim 2 ou 3.1②3
Dans toute cette partie, {E_{n}} désigne un espace euclidien de dimension {n}, avec {n=2} ou {n=3}.
On ne perd aucune généralité à supposer que {E_{n}=\mathbb{R}^{n}} muni de son produit scalaire canonique..
Orientation, b.o.n. directes
D. Orientation de l'espace euclidien En
Soit {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} deux bases orthonormales de {E_{n}}.
Soit {P} la matrice de passage de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} : {P} est orthogonale, donc {\det(P)\in\{-1,1\}}.
Si {\det(P)=1} (donc si {P\in SO(n)}) on dit que la base {\mathcal{B}} a la même orientation que la base {\mathcal{B}'}.
On définit ainsi une relation d'équivalence sur l'ensemble des bases orthonormales de {E_{n}}.
Il y a exactement deux classes d'équivalence.
Orienter {E_{n}}, c'est choisir l'une de ces deux classes.
les bases de la classe d'équivalence choisie sont dites bases orthonormales directes.
les bases de l'autre classe d'équivalence sont dites bases orthonormales indirectes.
En résumé : il y a toujours deux orientations possibles sur {E_{n}} : le choix de la classe des bases directes est arbitraire. Néanmoins on orientera toujours {\mathbb{R}^{n}} en décrétant que sa base canonique est directe.
R. Modification simple des vecteurs de base.
Soit {\mathcal{B}} une base orthonormale dans l'espace vectoriel euclidien {E_{n}} orienté.
si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} par échange de deux vecteurs, {\mathcal{B}} et {\mathcal{B}'} sont d'orientation contraire
Idem si on passe de {\mathcal{B}} à {\mathcal{B}'} en changeant un vecteur en son opposé.
Par exemple, soit {(u,v)} une base orthonormale directe de {E_{2}} orienté.
les bases {(-u,v)}, {(u,-v)}, {(v,u)} et {(-v,-u)} sont orthonormales indirectes.
les bases {(-u,-v)}, {(v,-u)}, et {(-v,u)} sont orthonormales directes.
De même, soit {(u,v,w)} une base orthonormale directe de {E_{3}} orienté.
les bases {(v,u,w)}, {(w,v,u)}, {(u,w,v)} sont orthonormales indirectes.
les bases {(u,-v,-w)}, {(-u,v,-w)}, et {(-u,-v,w)} sont orthonormales directes.
{(-u,v,w)}, {(u,-v,w)}, {(u,v,-w)}, {(-u,-v,-w)} sont orthonormales indirectes.
les bases {(v,w,u)}, {(w,u,v)} sont orthonormales directes, etc.