Réduction des matrices (2/4)

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Le polynôme caractéristique

D. Polynôme caractéristique d'une matrice

Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

La fonction définie sur ${\mathbb{K}}$ par ${x\mapsto\det(x I_{n}-A)}$ est polynomiale unitaire de degré ${n}$ .

Plus précisément, pour tout ${x\in\mathbb{K}}$ : ${\begin{array}{l}\det(xI_{n}\!-\!A)\\[6pt]\qquad=x^{n}\!-\!\text{tr}(A)x^{n-1}\!+\!\cdots\!+\!(-1)^{n}\det(A)\end{array}}$ On note ${\chi_{A}(x)=\det(xI_{n}-A)}$ , et on l'appelle le polynôme caractéristique de ${A}$ .

R. Polynôme caractéristique et inversibilité

Le terme constant de

{\chi_{A}}

est

{\chi_{A}(0)=(-1)^{n}\det(A)}

Dire que ${\chi_{A}(0)\ne0}$ , c'est dire que ${0}$ n'est pas valeur propre de ${A}$ , ou encore que ${A}$ est inversible.

R. Cas d'une matrice diagonale ou triangulaire

Si une matrice

{A}

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

est diagonale ou triangulaire, alors

{\chi_{A}(X)=\prod\limits_{i=1}^{n}(X-a_{i,i})}

P. Polynôme caractéristique et transposée

{A}

est dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, les matrices

{A}

{{A}^{\top}}

ont le même polynôme caractéristique.

P. Cas de deux matrices semblables

{A}

{B}

sont semblables dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}

, elles ont le même polynôme caractéristique.

D. Extension aux endomorphismes

Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, où

{E}

est un

{\mathbb{K}}

-ev de dimension

{n\ge1}

Le polynôme caractéristique ${\chi_{u}}$ de ${u}$ est celui de la matrice ${A}$ de ${u}$ dans une base quelconque ${\mathcal{B}}$ (cela ne dépend pas de la base choisie).

Pour tout ${x}$ de ${\mathbb{K}}$ , on a donc : ${\chi_{u}(x)=\det(xI_{n}-A)=\det(x\,\text{Id}-u)}$ C'est un polynôme unitaire de degré ${n}$ .

On connaît là encore les coefficients de degré ${0}$ et ${n\!-\!1}$ : ${\chi_{u}(X)=X^n-\text{tr}(u)X^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\det(u)}$

Cas particulier : le polynôme caractéristique de l'homothétie ${u=\lambda\text{Id}}$ est ${\chi_{u}(X)=(X-\lambda)^{n}}$ .

E. Exercices conseillés

Polynôme caractéristique et spectre

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Polynôme caractéristique et stabilité

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