Réduction des matrices (1/4)

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Éléments propres d’un endomorphisme

P. Droite stable : trois conditions équivalentes

Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel, soit

{D}

une droite de

{E}

.
Soit

{u}

un endomorphisme de

{E}

.
Les propositions suivantes sont équivalentes :

la droite ${D}$ est stable par ${u}$ ( ${u(D)\subset D}$ ).
il existe un scalaire ${\lambda}$ tel que, pour tout ${x}$ de ${D}$ , ${u(x)=\lambda x}$ (c'est-à-dire ${u_{\mid D}=\lambda \text{Id}_{D}}$ ).
il existe un scalaire ${\lambda}$ , et il existe un vecteur ${x}$ non nul de ${D}$ , tels que ${u(x)=\lambda x}$ .

D. Vecteurs propres d'un endomorphisme

Soit

{E}

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel, soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, et soit

{x\ne0}

dans

{E}

.
On dit que

{x}

est vecteur propre de

{u}

si la droite vectorielle

{D=\mathbb{K} x}

est stable par

{u}

.
Cela équivaut à l'existence d'un (unique) scalaire

{\lambda}

tel que

{u(x)=\lambda x}

.
On a alors :

{\forall\, y\in\mathbb{K} x,\;u(y)=\lambda y}

. On dit que

{D}

est une droite vectorielle propre de

{u}

D. Spectre d'un endomorphisme

Soit

{u}

un endomorphisme d'un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

, et soit

{\lambda}

un scalaire.
On dit que

{\lambda}

est une valeur propre de

{u}

s'il existe

{x\ne0}

dans

{E}

tel que

{u(x)=\lambda x}

.
L'ensemble des valeurs propres éventuelles de

{u}

est appelé le spectre de

{u}

, et est noté

{\text{Sp}(u)}

P. Trois conditions équivalentes

On a clairement :

{u(x)\!=\!\lambda x\Leftrightarrow x\in\text{Ker}(u\!-\!\lambda\text{Id})}

.
Les propositions suivantes sont donc synonymes :

${\lambda}$ est valeur propre de ${u}$
${\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})}$ n'est pas réduit à ${\{0\}}$
l'endomorphisme ${u-\lambda\text{Id}}$ n'est pas injectif.

D. Sous-espace propre d'un endomorphisme

Soit

{u}

un endomorphisme d'un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

.
Soit

{\lambda}

une valeur propre de

{u}

. Le sous-espace :

{E_{\lambda}(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})=\{x\in E,\;u(x)=\lambda x\}}

n'est donc pas réduit à

{\{0\}}

.
On dit que

{E_{\lambda}(u)}

est le sous-espace propre de

{u}

pour la valeur propre

{\lambda}

R. Remarques de terminologie

Un sous-espace propre ${E_{\lambda}(u)}$ est stable par ${u}$ : la restriction de ${u}$ à ${E_{\lambda}(u)}$ est en effet l'application ${x\mapsto \lambda x}$ (l'homothétie de rapport ${\lambda}$ si ${\lambda\ne0}$ , et l'application nulle sinon).
Soit ${\lambda\in\text{Sp}(u)}$ , c'est-à-dire une valeur propre de ${u}$ .
Les vecteurs propres de ${u}$ pour ${\lambda}$ sont les éléments non nuls de ${E_\lambda(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})}$ .
Ou encore : ${E_\lambda(u)=\text{Ker}(u-\lambda\text{Id})}$ est formé des vecteurs propres de ${u}$ pour ${\lambda}$ et du vecteur nul.
Si ${x}$ est vecteur propre de ${u}$ , c'est pour l'unique ${\lambda}$ tel que ${u(x)=\lambda x}$ .
En revanche, il y a une infinité de vecteurs propres de ${u}$ pour ${\lambda}$ (les vecteurs non nuls de ${E_\lambda}$ ).

R. Cas particuliers importants

Si ${u=\lambda\text{Id}}$ , alors ${\text{Sp}(u)=\{\lambda\}}$ et ${E_{\lambda}(u)=E}$ , dans la mesure bien sûr où ${E\ne\{0\}}$ !
Réciproquement, ce n'est pas parce que ${\text{Sp}(u)=\{\lambda\}}$ qu'on a ${u=\lambda\text{Id}}$ .
Par exemple, soit ${u\colon(x,y)\mapsto(y,0)}$ . On a ${\text{Sp}(u)=\{0\}}$ mais ${u}$ n'est pas l'application nulle.
Le scalaire ${0}$ est valeur propre d'un endomorphisme ${u}$ si et seulement si ${u}$ est non injectif. Le sous-espace propre associé est alors ${E_0(u)=\text{Ker}(u)}$ .

R. Exemples simples à connaître

L'endomorphisme ${u}$ de ${\mathbb{K}[X]}$ défini par ${u(P)=X P}$ n'a aucune valeur propre.
L'endomorphisme ${u}$ de ${\mathbb{R}^{2}}$ défini par ${u(x,y)=(-y,x)}$ n'a aucune valeur propre.
L'endomorphisme ${u}$ de ${\mathbb{C}^{2}}$ défini par ${u(x,y)=(-y,x)}$ a pour valeurs propres ${i}$ et ${-i}$ .
On a : ${E_{i}(u)=\mathbb{C}(1,-i)\;\text{et}\;E_{-i}(u)=\mathbb{C}(1,i)}$
Les valeurs propres de l'endomorphisme ${u :P\to X P'}$ de ${\mathbb{K}[X]}$ sont tous les entiers naturels. On trouve : ${E_{n}(u)=\mathbb{K}\,X^n}$
L'endomorphisme ${u:f\to f'}$ de ${E={\mathcal C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}$ admet tout réel pour valeur propre.
On trouve : ${E_{\lambda}(u)=\mathbb{R}\varphi_{\lambda}}$ , où ${\varphi_\lambda(t)=\text{e}^{\lambda t}}$ .
On suppose ${E=F\oplus G}$ ( ${F\ne\{0\}}$ , ${G\ne\{0\}}$ ).
Soit ${p}$ la projection sur ${F}$ parallèlement à ${G}$ .
Alors ${\text{Sp}(u)=\{0,1\}}$ , avec ${\begin{cases}E_{0}(p)=\text{Ker}(p)=G\\E_{1}(p)=\text{Inv}(p)=\text{Im}(p)=F\end{cases}}$

E. Exercices conseillés

Éléments propres d’une matrice carrée

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Propriétés des éléments propres

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