Une approximation quadratique

(Oral Ccp)
Pour P,Q dans \mathbb{R}[X], on pose :{\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}

  1. Montrer que c’est un produit scalaire.
    Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
  2. Pour {a=(a_{1},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer le mininum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.