Florilège d’exercices (1)

Exercice 1.
On considère deux suites {(a_n)_{n\ge0}} et {(b_n)_{n\ge0}},
On suppose que :
{\forall\,n\in\mathbb{N},\;\begin{cases}a_{n+1}=\dfrac{2a_n+b_n}{4}\\ b_{n+1}=\dfrac{a_n+2b_n}{4}\end{cases}}
Étudier la limite de ces deux suites.
Exercice 2.

  1. On pose {v_1=3} et : {\forall n,\in\mathbb{N}^*,\;v_{n+1}=\dfrac{v_n}{n}+1}.

    • Soit {n} un entier, {n\ge1}.
      Montrer que : {v_{n+1}\lt v_{n}\Rightarrow v_{n+2}\lt v_{n+1}}.

    • En déduire la limite de {(v_{n})_{n\ge1}}.
  2. On pose {u_1=a} (avec {a} dans {\mathbb{C}}).
    On suppose : {\forall n,\in\mathbb{N}^*,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{n}+1}.
    Étudier la limite de {(u_{n})_{n\ge1}}.

Exercice 3.Pour tout {n\ge4} on considère les entiers {A_n=3n^2-n+1\;\text{et}\; B_n=2n-1}Déterminer le reste dans la division de {A_n} par {B_n}.
Exercice 4.
{ABCD} est un rectangle, où {AB=10} et {BC=6}.
Soit {H} le milieu du segment {[DC]}.
Soit {M} sur la médiatrice de {[DC]}.
On note {\,\theta} l’angle {(\widehat{\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BM}})}.
Exprimer {g(\,\theta)=MA+MB+MH}.
Préciser pour quelle valeur de {\,\theta} cette somme est minimum et calculer la valeur de ce minimum.
Exercice 5.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, donner une expression simple de :{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\dbinom{n}{k}}