Une intégrale d’intégrale

(Oral Mines-Ponts)

  1. Soit {F : x \rightarrow \displaystyle\int_{x}^{+\infty} \dfrac{\sin t}{t^{2}}\,\text{d}t}.
    Montrer que {F} est définie et dérivable sur {\mathbb{R}^{+*}}
  2. Établir que {g :t\rightarrow \dfrac{\sin t-t}{t^{2}}} est bornée sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
    En déduire que {F(x)\underset{0}{\sim}-\ln x}
  3. Vérifier que {F} est intégrable sur {\mathbb{R}^{+^{*}}}.
    Monrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!F(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin u}{u}\mathrm{d}u}