Un endomorphisme de polynômes

NB : ceci est une page de démonstration de mathprepa.fr

Soient

{n}

dans

\mathbb{N}

{A,B}

dans

{\mathbb{C}[X]}

, avec

{A\ne0}

, avec

{\deg(B)= n+ 1}

.
Soit

{\varphi}

l’endomorphisme de

{\mathbb{C}_{n}[X]}

qui à un polynôme

P

associe le reste de la division euclidienne de

{AP}

par

{B}

Montrer que si ${A}$ et ${B}$ sont sans racine commune, alors ${\varphi}$ est un isomorphisme.
On suppose que toutes les racines de ${B}$ sont simples.
Que dire du spectre de ${\varphi}$ ? Cet endomorphisme est-il diagonalisable ?

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Tout d’abord, on vérifie que ${\varphi}$ est bien un endomorphisme de ${\mathbb{C}_{n}[X]}$ .

Puisque ${\deg(B)=n+1}$ , il est clair que ${\varphi(\mathbb{C}_{n}[X])\subset\mathbb{C}_{n}[X]}$ .

Ensuite, soit ${P_{1},P_{2}}$ dans ${\mathbb{C}_{n}[X]}$ . Posons : ${\begin{cases}AP_{1}=Q_{1}B+R_{1}\\AP_{2}=Q_{2}B+R_{2}\end{cases}\;\text{où}\;\begin{cases}\deg(R_{1})\le n\\\deg(R_{2})\le n\end{cases}}$

Avec ces notations : ${\begin{cases}R_{1}=\varphi(P_{1})\\R_{2}=\varphi(P_{2})\end{cases}}$

Pour tous ${\alpha,\beta}$ dans ${\mathbb{C}}$ , on a : ${\begin{cases}A(\alpha P_{1}\!+\!\beta P_{2})\!=\!(\alpha Q_{1}\!+\!\beta Q_{2})B\!+\!\alpha R_{1}\!+\!\beta R_{2}\\\deg(\alpha R_{1}\!+\!\beta R_{2})\!\le\! n\end{cases}}$ En d’autres termes : ${\begin{array}{rl}\varphi(\alpha P_{1}+\beta P_{2})&=\alpha R_{1}+\beta R_{2}\\\\&=\alpha\varphi(P_{1})+\beta\varphi(P_{2})\end{array}}$ Ainsi ${\varphi}$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$ .

On suppose que $A$ et ${B}$ n’ont pas de racine commune.

Soit ${P}$ dans ${\text{Ker}(\varphi)}$ (donc tel que ${B}$ divise ${AP}$ ).

Tout racine de ${B}$ dans ${\mathbb{C}}$ est ainsi racine de ${AP}$ , donc de ${P}$ , avec une multiplicité au moins égale.

Le polynôme ${P}$ admet alors au moins ${n+1}$ racines (chacune comptée autant de fois que sa multiplicité) alors que ${\deg(P)\le n}$ .

La seule possibilité est ${P=0}$ .

Ainsi ${\varphi}$ est un isomorphisme de ${\mathbb{C}_{n}[X]}$ .
On suppose que les racines de ${B}$ sont ${\alpha_{0},\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}}$ , distinctes deux à deux.

Soit ${P\in\mathbb{C}_{n}[X]}$ un vecteur propre de ${\varphi}$ , pour une valeur propre ${\lambda}$ .

Il existe ${Q\in\mathbb{C}[X]}$ tel que ${AP\!=\!QB\!+\!\lambda P}$ donc tel que ${(A\!-\!\lambda)P\!=\!QB}$ .

On en tire : ${\forall\, k\in[\![ 0,n]\!],\;(A(\alpha_{k})-\lambda)P(\alpha_{k})=0}$ .

Nécessairement, il existe ${j\in[[ 0,n]]}$ tel que ${\lambda=A(\alpha_{j})}$ , sans quoi ${P}$ (qui est non nul de degré ${n}$ ) possèderait les ${n+1}$ racines distinctes ${\alpha_{k}}$ , ce qui est exclu.

Dans ces conditions, et pour ${k\in[[ 0,n]]\setminus\{j\}}$ , on a ${P(\alpha_{k})=0}$ .

Ainsi: ${\exists\, \mu\in\mathbb{C},\;P=\mu\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}$ .

Réciproquement, pour tout ${j\in[[ 0,n]]}$ , posons ${P_{j}=\displaystyle\prod_{k\ne j}(X-\alpha_{k})}$ .

Par construction, le polynôme ${(A-A(\alpha_{j})P_{j}}$ s’annule tous les ${\alpha_{k}}$ , avec ${k\in[[ 0,n]]}$ .

Il existe donc ${Q}$ dans ${\mathbb{C}[X]}$ tel que ${(A-A(\alpha_{j}))P_{j}=QB}$ .

Autrement dit : ${AP_{j}=QB+A(\alpha_{j})P_{j}}$ .

Puisque ${\deg(A(\alpha_{j})P_{j})\lt \deg(B)}$ , il en résulte ${\varphi(P_{j})=A(\alpha_{j})P_{j}}$ .

En résumé, les valeurs propres de ${\varphi}$ sont les ${\lambda_{j}=A(\alpha_{j})}$ pour ${j\in[[ 0,n]]}$

(NB: rien n’indique que ces valeurs propres soient distinctes).

Remarquons que la famille ${(P_{j})_{0\le j\le n}}$ est libre (donc constitue une base de ${\mathbb{C}_{n}[X]}$ ).

En effet si ${\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\delta_{j}P_{j}(X)=0}$ , remplacer ${X}$ par ${\alpha_{k}}$ donne ${\delta_{k}=0}$ .

L’application ${\varphi}$ , qui possède une base de vecteurs propres, est diagonalisable.