Intégrale et constante d’Euler

(Oral Mines-Ponts 2018)

  1. Montrer qu’il existe {\gamma \in\mathbb{R}} tel que : {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln n+\gamma +o(1)}.
  2. Soit {I_n=\displaystyle\int_{0}^{n}\left(1-\dfrac{x}{n}\right) ^{n}\ln(x)\,\text{d}x}.
    Monter que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\text{e}^{-x}\ln (x)\,\text{d}x}.
  3. Exprimer cette intégrale à l’aide de {\gamma}.