Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Pour tout {n} dans {\mathbb{N}}, on pose {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.

Soit {p} un entier strictement positif.

  1. Justifier l’existence de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}.
  2. Montrer {\dfrac1{\sqrt{1-x}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n} si {\left|x\right|\lt 1}
  3. En déduire {S(p)=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{p-1}}{\sqrt{1-x}}\text{d}x}.
  4. Montrer finalement que : {S(p)=\dfrac{1}{p\,u_{p}}}.