La constante d’Euler

Exercice 1.
On pose {H_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}, puis {u_{n}=H_{n}\!-\!\ln n}.

Montrer que la suite {(u_{n})_{n\ge 1}} est convergente.

On note {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\gamma} (constante d’Euler).

Ainsi, quand {n\rightarrow\infty} : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln n\!+\!\gamma\!+\!\text{o}(1)}

Exercice 2.
Soit {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n} deux séries positives convergentes, avec {u_n\sim v_n}.

  1. Montrer que: {\;\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}u_{k}\stackrel{n\rightarrow\infty}{\sim}\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}v_{k}}.
  2. Montrer que {\displaystyle\sum_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}\stackrel{n\rightarrow\infty}{\sim}\dfrac{1}{n}}.
  3. En déduire le développement asymptotique : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.