2026-Centrale-Pc1-Corrigé

Centrale 2026 — PC — Mathématiques 1

Découverte de la planète Neptune

Les quatre parties sont indépendantes. On note {\mathcal M_3(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles de taille trois.

Le sujet évoque les travaux de Le Verrier sur les trajectoires planétaires : les écarts entre la trajectoire calculée d’Uranus et les observations ont conduit à prévoir l’existence de Neptune, ensuite observée par Galle en 1846.

Partie A — Mouvement d’une planète soumise à la seule attraction du Soleil

Dans le plan euclidien {\mathcal P} muni du repère orthonormé {(O;\vec i,\vec j)}, soient {a,c>0} avec {c\lt a}, et {b=\sqrt{a^2-c^2}}. Les foyers sont {F(c,0)} et {F'(-c,0)}. L’ellipse {\mathcal E} est définie par {MF+MF'=2a}. On note {(x,y)} les coordonnées de {M}.

I — Équation réduite de l’ellipse

Q 1. Rappeler l’inégalité triangulaire faisant intervenir {MF,MF',FF'}, puis prouver {FF'\geq|MF-MF'|}.
Q 2. En déduire que {MF-MF'-2a\ne0} et {MF-MF'+2a\ne0}.
Q 3. Montrer que {M\in\mathcal E} équivaut à l’annulation du produit {\begin{array}{l}(MF'+MF-2a)(MF'+MF+2a)\\[6pt]\quad(MF-MF'-2a)(MF-MF'+2a)\end{array}}
Q 4. En déduire {\begin{array}{l}M\in\mathcal E\Longleftrightarrow\\[8pt]\quad\bigl((MF')^2+MF^2-4a^2\bigr)^2=4(MF')^2MF^2\end{array}}
Q 5. En déduire que {M\in\mathcal E} si et seulement si {x^2/a^2+y^2/b^2=1}.

II — Étude d’une fonction

Sur {[0,a]}, on pose {f(x)=b\sqrt{1-x^2/a^2}}.

Q 6. Dresser le tableau de variations de {f} et donner les tangentes à sa courbe en {(0,b)} et {(a,0)}.
Q 7. Tracer la courbe {\mathcal C_f}.
Q 8. Représenter {\mathcal E} en plaçant {A(a,0)}, {A'(-a,0)}, {B(0,b)}, {B'(0,-b)}, {F} et {F'}. Les segments {[A'A]} et {[B'B]} sont respectivement le grand et le petit axe.

III — Paramètres de l’ellipse

On pose {e=c/a}, l’excentricité de {\mathcal E}.

Q 9. Montrer que {e\in]0,1[}, puis exprimer {c} et {b} en fonction de {a,e}.
Q 10. Donner l’allure de l’ellipse lorsque {e} est proche de {0} ou de {1}.

Partie B — Mouvement des planètes massives avec interactions

Le modèle réduit considère Uranus, Jupiter et Saturne. On introduit des fonctions {h_i,l_i} deux fois dérivables sur {\mathbb R_+}, pour {1\leq i\leq3}, et les colonnes {H_t=(h_i(t))_i}, {L_t=(l_i(t))_i}, {G_t=H_t'}, {K_t=L_t'} et {F_t=H_t''}.

Une matrice réelle constante {B} satisfait {H_t'=BL_t} et {L_t'=-BH_t}.

Q 11. Montrer que {F_t=AH_t} pour tout {t\geq0}, avec {A=-B^2}.

Dans cette partie uniquement, on suppose que {A} possède trois valeurs propres réelles {\lambda_1\lt \lambda_2\lt \lambda_3\lt 0}.

Q 12. Montrer qu’il existe {Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb R)} telle que {A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)Q^{-1}}.
Q 13. On pose {Y_t=Q^{-1}H_t=(y_1(t),y_2(t),y_3(t))^{\mathsf T}}.

Pour chaque {i}, montrer que {y_i} satisfait une équation différentielle linéaire d’ordre deux à préciser.

Q 14. Donner l’expression générale de {y_i(t)} à des constantes multiplicatives près.
Q 15. Montrer que {B} est inversible et exprimer les {h_i}, puis les {l_i}, à l’aide des {y_i} et des matrices {B,Q}.

Partie C — Méthode de Le Verrier pour déterminer les valeurs propres

I — Résolution des équations

Q 16. Montrer que {\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)} pour toutes matrices réelles de taille trois, puis que deux matrices semblables ont la même trace.

On suppose {A=Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)Q^{-1}}. On pose {S_k=\lambda_1^k+\lambda_2^k+\lambda_3^k} pour {k=1,2,3}, et {P_A=\alpha_0+\alpha_1X+\alpha_2X^2+\alpha_3X^3}, le polynôme caractéristique de {A}.

Q 17. Exprimer {\operatorname{Tr}(A)}, {\operatorname{Tr}(A^2)} et {\operatorname{Tr}(A^3)} en fonction des {S_k}.
Q 18. Exprimer {P_A}, puis {\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2} en fonction des valeurs propres.
Q 19. Exprimer {\alpha_1,\alpha_2} en fonction de {S_1,S_2}.

On admet {\alpha_0=(3S_1S_2-S_1^3-2S_3)/6}.

II — Étude d’un cas particulier

On pose {A=\frac12\begin{pmatrix}-4&11&13\\[8pt]0&1&7\\[8pt]0&7&1\end{pmatrix},\quad R=X^3+X^2-14X-24.}

Q 20. Justifier l’existence d’une matrice triangulaire supérieure {T\in\mathcal M_3(\mathbb C)} et de {Q\in\mathrm{GL}_3(\mathbb C)} telles que {A=QTQ^{-1}}. Les relations de Q19 restent-elles valables ?
Q 21. Calculer les traces de {A,A^2,A^3} et en déduire {P_A=R}.
Q 22. Déterminer les valeurs propres de {A}.
Q 23. Déterminer une matrice réelle inversible {Q} telle que {Q^{-1}AQ} soit diagonale.

Partie D — Perturbation d’une matrice d’ordre trois

On fixe {a\lt b\lt c}, {u,v,w\ne0}, {U=(u,v,w)^{\mathsf T}}, {T=UU^{\mathsf T}} et {D=\operatorname{diag}(a,b,c)}. Pour {t\ne0}, on pose {D(t)=D+tT}. On considère l’équation {\frac{u^2}{\lambda-a}+\frac{v^2}{\lambda-b}+\frac{w^2}{\lambda-c}=\frac1t\quad (E_t)}

I — Solutions et spectre

Soit {\lambda\notin\{a,b,c\}} une valeur propre de {D(t)}, et soit {X\ne0} un vecteur propre associé.

Q 24. Montrer que {\lambda I_3-D} est inversible et que {U^{\mathsf T}X=tU^{\mathsf T}(\lambda I_3-D)^{-1}UU^{\mathsf T}X}.
Q 25. Montrer que {U^{\mathsf T}(\lambda I_3-D)^{-1}U=1/t}.
Q 26. En déduire que {\lambda} est solution de {(E_t)}.
Q 27. Dresser le tableau de variations de {F(\lambda)=u^2/(\lambda-a)+v^2/(\lambda-b)+w^2/(\lambda-c)}.

Montrer que {F} s’annule en deux points {\rho_1\lt \rho_2}.

Q 28. Montrer que {(E_t)} possède trois solutions réelles distinctes {\lambda_1(t)\lt \lambda_2(t)\lt \lambda_3(t)}. Les comparer à {a,b,c,\rho_1,\rho_2} selon le signe de {t}.
Q 29. Montrer que l’ensemble des solutions de {(E_t)} est exactement le spectre de {D(t)}.

II — Les limites

On note {g_1,g_2,g_3,g_4} les réciproques des restrictions de {F} aux intervalles {]-\infty,a[}, {]a,b[}, {]b,c[} et {]c,+\infty[}, respectivement.

Q 30. Justifier leur existence, calculer {g_2(0)} et déterminer les limites de {g_2} en {+\infty} et en {-\infty}.
Q 31. Exprimer les {\lambda_i(t)} à l’aide des {g_j} et de {t}, selon le signe de {t}.
Q 32. Montrer que {\lambda_1} se prolonge continûment à {\mathbb R}.

On admet le même résultat pour {\lambda_2,\lambda_3} et on conserve ces notations pour les prolongements.

Q 33. Montrer que {\lambda_1} prolongée est dérivable sur {\mathbb R} et déterminer {\lambda_1'(0)}.

Donner sans justification les valeurs de {\lambda_2'(0)} et {\lambda_3'(0)}.

Q 34. Calculer les limites de {\lambda_1} en {+\infty} et en {-\infty}. Commenter la comparaison entre les valeurs propres de {D} et celles de {D(t)}.