2024-Inp-Pc-corrigé

CCINP — PC — 2024

Durée : quatre heures. Calculatrices interdites. Trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Racine cubique d’une matrice

Soit {n\in\mathbb N^*}. Une racine cubique de {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} est une matrice {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} telle que {B^3=A}.

Partie I — Étude d’un exemple

On cherche toutes les racines cubiques de {A=\begin{pmatrix}4&-12\\[8pt]-1&5\end{pmatrix}.}

Q 1. Justifier l’existence de {P\in\operatorname{GL}_2(\mathbb R)} telle que {A=PDP^{-1}}, où {D=\operatorname{diag}(1,8)}, sans nécessairement expliciter {P}.
Q 2. Montrer que {B^3=A} équivaut à {\Delta^3=D}, où {\Delta=P^{-1}BP}.
Q 3. Soit {\Delta} une racine cubique réelle de {D}. Montrer que {D} et {\Delta} commutent, puis que {\Delta} est diagonale.
Q 4. Déterminer toutes les racines cubiques de {D}, puis celles de {A}. On pourra décrire ces dernières en fonction de {P} et de {\Delta}.

Partie II — Dans un plan euclidien

Dans un plan euclidien orienté {E} muni d’une base orthonormée directe {\mathcal B}, on considère, pour {\theta\in\mathbb R}, {M=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}

Q 5. Quelle est la nature de l’endomorphisme {u} dont la matrice dans {\mathcal B} est {M} ?
Q 6. En déduire une racine cubique de {M}.
Q 7. Soit {N\in\mathcal M_2(\mathbb R)} orthogonale de déterminant {-1}. Montrer qu’elle admet une racine cubique.

Partie III — Racines cubiques et diagonalisation

On suppose {A\in\mathcal M_n(\mathbb R)} diagonalisable sur {\mathbb R}. Ses valeurs propres distinctes sont {\lambda_1,\ldots,\lambda_d}.

III.1 — Existence d’une racine cubique polynomiale

Q 8. Pour {\lambda\in\mathbb R} et {p\geq1}, déterminer une racine cubique de {H_p(\lambda)=\lambda I_p}.
Q 9. En déduire que {A} admet une racine cubique. On pourra regrouper les valeurs propres dans une matrice diagonale par blocs.

III.2 — Réduction d’une racine cubique

On suppose de plus {A} inversible et l’on pose {Q(X)=\prod_{k=1}^d(X^3-\lambda_k).}

Q 10. Montrer que les {\lambda_k} sont non nuls.
Q 11. Pour {\lambda=\rho e^{i\theta}\in\mathbb C^*}, avec {\rho>0}, montrer que {z^3=\lambda} possède exactement trois solutions complexes.
Q 12. En déduire que {Q} est scindé à racines simples sur {\mathbb C}.
Q 13. En déduire que toute racine cubique {B} de {A} est diagonalisable dans {\mathcal M_n(\mathbb C)}.

Exercice 2 — La fonction ln(Γ)

On cherche les fonctions {f:]0,+\infty[\to\mathbb R} satisfaisant les quatre conditions {(C)} :
(i) {f} est de classe {\mathcal C^1} ; (ii) {f(x+1)-f(x)=\ln x} pour tout {x>0} ; (iii) {f'} est croissante ; (iv) {f(1)=0}.

Partie I — Existence de la solution

Pour {n\geq1} et {x>0}, on définit {u_n(x)=x\ln\left(1+\frac1n\right)-\ln\left(1+\frac xn\right).}

Q 14. Montrer que {\sum\limits_{n\geq1}u_n} converge simplement sur {]0,+\infty[}.

Dans la suite, on pose {\varphi(x)=-\ln x+\sum_{n=1}^{+\infty}u_n(x),\quad x>0.}

Q 15. Justifier que chaque {u_n} est de classe {\mathcal C^1}, puis trouver une suite {(\varepsilon_n)} telle que {\sum\varepsilon_n} converge absolument et {u_n'(x)=\frac{x}{n(n+x)}+\varepsilon_n.}
Q 16. En déduire la convergence normale de {\sum\limits_{n\geq1}u_n'} sur tout segment {[a,b]\subset]0,+\infty[}.
Q 17. Montrer que {\varphi} vérifie les conditions {(C)}.

Partie II — Unicité de la solution

Soit {g} satisfaisant {(C)} ; on pose {h=\varphi-g}. Les questions Q18 et Q19 sont indépendantes.

Q 18. Montrer que {h(x+1)=h(x)} et {h'(x+1)=h'(x)} pour {x>0}.
Q 19. Pour {x\in]0,1]} et {p\geq1}, montrer successivement {\begin{array}{l}\varphi'(p)-g'(p+1)\leq h'(x+p)\\[8pt]\quad\leq\varphi'(p+1)-g'(p),\\[8pt]\varphi'(p)-g'(p+1)=h'(p)-1/p.\end{array}}En déduire {|h'(x+p)-h'(p)|\leq1/p}.
Q 20. En déduire que {h'} est constante sur {]0,+\infty[}.
Q 21. Conclure que {\varphi=g}.

Partie III — La formule de duplication

Pour {x>0}, on définit {\begin{array}{rcl}\psi(x)&=&(x-1)\ln2+\varphi(x/2)\\[8pt]&&+\varphi((x+1)/2)-\frac12\ln\pi.\end{array}}

Q 22. Montrer, pour {N\geq1}, {\exp\left(\sum_{n=1}^N u_n(1/2)\right)=\frac{\sqrt{N+1}}{2N+1}\frac{(2^NN!)^2}{(2N)!}.}
Q 23. Déduire de Q22 et de la formule de Stirling que {\psi(1)=0}.
Q 24. Montrer, pour {x>0}, {\begin{array}{l}(x-1)\ln2+\varphi(x/2)+\varphi((x+1)/2)\\[8pt]\quad=\varphi(x)+\frac12\ln\pi.\end{array}}

Exercice 3 — Temps d’attente avant une collision

Une urne contient {n\geq1} boules numérotées de {1} à {n}. Les tirages se font avec remise. Les variables {(X_k)_{k\geq1}} sont indépendantes et uniformes sur {\llbracket1,n\rrbracket}.
On note {T_n} le rang de la première répétition : {\begin{array}{l}T_n=\min\{j\in\llbracket2,n+1\rrbracket:\\[8pt]\quad\exists i\in\llbracket1,j-1\rrbracket,\ X_i=X_j\}.\end{array}}Par exemple, pour {n=4}, les résultats successifs {1,3,2,3,4} donnent {T_n=4}. On cherche un équivalent de {\mathbb E(T_n)} quand {n\to+\infty}.

Partie I — Une expression de l’espérance

Q 25. Déterminer les valeurs prises par {T_n}.

Pour la suite de cette partie, {k\in\llbracket1,n\rrbracket} et {Z=(X_1,\ldots,X_k)}.

Q 26. Justifier que {Z} suit la loi uniforme sur {\llbracket1,n\rrbracket^k}.
Q 27. Soit {A} l’ensemble des {k}-uplets de {\llbracket1,n\rrbracket^k} à composantes deux à deux distinctes. Déterminer son cardinal et en déduire {\mathbb P(T_n>k)=\mathbb P(Z\in A)=\frac{n!}{(n-k)!n^k}.}

La formule de Q27 reste valable pour {k=0}.

Q 28. Justifier que {T_n} est d’espérance finie et que {\mathbb E(T_n)=\sum_{\ell=0}^n\frac{n!}{(n-\ell)!n^\ell}.}

Partie II — Une expression intégrale de l’espérance

Pour {k\in\mathbb N}, on considère {I_k=\int_0^{+\infty}t^ke^{-t}\,dt}.

Q 29. Montrer que {I_k} converge.
Q 30. Montrer que {I_k=k!} pour tout {k\in\mathbb N}.
Q 31. En déduire la convergence de l’intégrale suivante et l’égalité {\mathbb E(T_n)=\int_0^{+\infty}\left(1+\frac tn\right)^ne^{-t}\,dt.}

Partie III — Un équivalent de l’espérance

Dans cette partie, les notations {I_n} et {J_n} désignent désormais {\begin{array}{rcl}I_n&=&\displaystyle\int_0^n\left(1+\frac tn\right)^ne^{-t}\,dt,\\[12pt]J_n&=&\displaystyle\int_n^{+\infty}\left(1+\frac tn\right)^ne^{-t}\,dt.\end{array}}Ces intégrales convergent, et {\mathbb E(T_n)=I_n+J_n}.

III.1 — Étude de la suite (Jₙ)

Q 32. Établir par changement de variable {J_n=e^{-n}\int_0^{+\infty}\left(2+\frac vn\right)^ne^{-v}\,dv.}
Q 33. Montrer que la suite {K_n=\int_0^{+\infty}\left(1+\frac v{2n}\right)^ne^{-v}\,dv}est bornée. On pourra utiliser {1+x\leq e^x}.
Q 34. En déduire que {(J_n)} converge et préciser sa limite.

III.2 — Étude de la suite (Iₙ)

Pour {u>0}, on définit {f_n(u)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\left(1+\frac u{\sqrt n}\right)^ne^{-u\sqrt n},&u\lt\sqrt n,\\[8pt]0,&u\geq\sqrt n.\end{array}\right.}

Q 35. Montrer que {\begin{array}{rcl}I_n&=&\displaystyle\sqrt n\int_0^{\sqrt n}\left(1+\frac u{\sqrt n}\right)^ne^{-u\sqrt n}\,du\\[8pt]&=&\displaystyle\sqrt n\int_0^{+\infty}f_n(u)\,du.\end{array}}
Q 36. Pour {0\lt u\lt\sqrt n}, montrer que {\ln f_n(u)=\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}k\frac{u^k}{n^{k/2-1}}.}
Q 37. En déduire, pour {0\lt u\lt\sqrt n}, {\begin{array}{l}\displaystyle\left|\ln f_n(u)+\frac{u^2}2\right|\leq\frac{u^3}{3\sqrt n},\\[8pt]\displaystyle\ln f_n(u)\leq-\frac{u^2}6.\end{array}}
Q 38. Justifier que {u\mapsto e^{-u^2/2}} est intégrable sur {[0,+\infty[}, puis établir {\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(u)\,du=\int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\,du.}

III.3 — Conclusion

Q 39. En admettant {\int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{\pi/2}}, déterminer un équivalent de {\mathbb E(T_n)}.