2023-Mines-Pc2-corrigé

Mines-Ponts 2023 — PC — Mathématiques II

Chaîne de Markov en temps continu

On fixe {N\geq2}. Pour une matrice {A}, {A[i,j]} désigne son coefficient de ligne {i} et de colonne {j}. Pour un vecteur ligne ou colonne, on écrit simplement {A[i]}.

On identifie {\mathbb R^N} aux vecteurs colonnes. On note {(E_1,\ldots,E_N)} sa base canonique et {U} le vecteur colonne dont toutes les coordonnées valent {1}. La matrice identité est {I_N}.

Un noyau de Markov est une matrice {K\in\mathcal M_N(\mathbb R)} vérifiant {\begin{array}{ll}\text{(M1)}&K[i,j]\geq0\quad\text{pour tous }i,j,\\[8pt]\text{(M2)}&\displaystyle\sum_{j=1}^NK[i,j]=1\quad\text{pour tout }i.\end{array}}Une probabilité est un vecteur ligne {\mu} dont les coordonnées sont positives ou nulles et de somme {1}.

Préliminaires

1. Montrer que {A} vérifie (M2) si et seulement si {AU=U}. En déduire que le produit de deux noyaux de Markov est un noyau de Markov.

On fixe désormais un noyau de Markov {K}.

2. Montrer que {K^n} est un noyau de Markov pour tout {n\in\mathbb N}.
3. Pour {t\in\mathbb R} et {1\leq i,j\leq N}, justifier la convergence de {\sum\limits_{n\geq0}t^nK^n[i,j]/n!}.

Pour {t\in\mathbb R}, on définit {H_t} par {H_t[i,j]=e^{-t}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{t^nK^n[i,j]}{n!}.}

4. Montrer que {H_t} est un noyau de Markov pour {t\geq0}.
5. Montrer que {H_{t+s}=H_tH_s} pour {t,s\geq0}. On pourra utiliser un produit de Cauchy.

Partie 1 — Modélisation probabiliste

Un système possède {N} états numérotés de {1} à {N} et se trouve initialement dans l’état {1}. À chaque impulsion, s’il est dans l’état {i}, il passe dans l’état {j} avec la probabilité {p_{ij}}, qui ne dépend que de l’état avant l’impulsion.

Sur un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)}, {Z_k} désigne l’état après {k} impulsions. Ainsi {Z_0=1} et, lorsque {\mathbb P(Z_k=i)\ne0}, {\mathbb P(Z_{k+1}=j\mid Z_k=i)=p_{ij}.}On définit {K[i,j]=p_{ij}}.

6. Justifier que {K} est un noyau de Markov.
7. Montrer par récurrence que, pour {n\in\mathbb N} et {1\leq j\leq N}, {\mathbb P(Z_n=j)=K^n[1,j]}.
8. Le nombre d’impulsions au temps {t\geq0} est une variable {Y_t} de loi de Poisson de paramètre {t}. Si {A_{t,j}} désigne l’événement « le système est dans l’état {j} au temps {t} », justifier que {\mathbb P(A_{t,j})=H_t[1,j]}.

Partie 2 — Étude d’un endomorphisme autoadjoint

Soit {E} un espace euclidien de dimension {N}, muni d’un produit scalaire {(\cdot\mid\cdot)} et de sa norme. On considère un endomorphisme autoadjoint {u} tel que {q_u(x)=(u(x)\mid x)\geq0} pour tout {x\in E}.

9. Énoncer le théorème spectral pour {u}. Que dire de ses valeurs propres ?

On suppose que {0} est valeur propre simple de {u}. On note {\lambda_2} sa plus petite valeur propre non nulle et {p} la projection orthogonale sur la droite {\ker u}.

10. Montrer que, pour tout {x\in E}, {q_u(x-p(x))\geq\lambda_2\|x-p(x)\|^2.}

Partie 3 — Convergence de {H_t[i,j]}

On considère un noyau de Markov {K} dont {1} est une valeur propre simple. On suppose qu’il existe une probabilité ligne {\pi} dont toutes les coordonnées sont non nulles et telle que {\pi[i]K[i,j]=K[j,i]\pi[j].}On dit que {K} est {\pi}-réversible. On admet que {H_t} est également {\pi}-réversible pour {t\geq0}.

Pour les vecteurs colonnes {X,Y}, on pose {\langle X,Y\rangle=\sum_{i=1}^NX[i]Y[i]\pi[i].}L’objectif est de déterminer la limite de {H_t[i,j]} et de majorer la vitesse de convergence.

11. Montrer que {\pi K=\pi}.
12. Montrer que {\langle\cdot,\cdot\rangle} est un produit scalaire.

On note désormais {E} l’espace euclidien des vecteurs colonnes muni de ce produit scalaire et {\|\cdot\|} sa norme.

13. Pour {u:X\mapsto(I_N-K)X}, montrer que {\ker u=\operatorname{Vect}(U)} et que {u} est autoadjoint.

On admet que {X\mapsto H_tX} est également autoadjoint pour {t\geq0}.

14. Montrer que, pour {X\in E}, {q_u(X)=\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N(X[i]-X[j])^2K[i,j]\pi[i].}Que dire des valeurs propres de {u} ?

Pour {X\in E}, on définit sur {\mathbb R} les fonctions {\psi_X(t)=H_tX} et {\varphi_X(t)=\|H_tX\|^2}.

15. Justifier que {\psi_X} est dérivable et que {\psi'_X(t)=-(I_N-K)H_tX\qquad(t\in\mathbb R).}
16. En déduire que {\varphi_X} est dérivable et exprimer {\varphi'_X} à l’aide de {q_u}.

On note {p} la projection orthogonale sur {\ker u}.

17. Montrer que {p(H_tX)=p(X)} pour {t\geq0}.
18. Posons {Y=X-p(X)} et notons {\lambda} la plus petite valeur propre non nulle de {u}. Montrer que {\varphi'_Y(t)\leq-2\lambda\varphi_Y(t)} pour {t\geq0}, puis que {\|H_tX-p(X)\|^2\leq e^{-2\lambda t}\|X-p(X)\|^2.}
19. Pour {1\leq i\leq N} et {t\geq0}, montrer que {\|H_tE_i-\pi[i]U\|\leq e^{-\lambda t}\sqrt{\pi[i]}.}
20. Montrer que, pour tous {i,j} et {t\geq0}, {\begin{array}{l}H_t[i,j]-\pi[j]\\[8pt]\quad=\displaystyle\sum_{k=1}^N(H_{t/2}[i,k]-\pi[k])\\[8pt]\qquad\qquad\times(H_{t/2}[k,j]-\pi[j]).\end{array}}On pourra utiliser Q5.
21. En déduire que, pour tous {i,j} et {t\geq0}, {|H_t[i,j]-\pi[j]|\leq e^{-\lambda t}\sqrt{\frac{\pi[j]}{\pi[i]}}.}Déterminer la limite de {H_t[i,j]} lorsque {t\to+\infty}.