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Durée : 4 heures. Calculatrice autorisée.
L’objectif est d’établir le théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques. Ce théorème étudie les espaces propres associés aux valeurs propres de module maximal. Une application finale ouvre sur l’analyse spectrale des matrices à coefficients positifs.
La partie I établit des résultats préliminaires. La partie II traite le cas des matrices strictement positives de taille deux. La partie III relie rayon spectral et comportement des puissances, indépendamment de la partie II. La partie IV démontre le théorème annoncé, indépendamment des parties II et III.
Notations et définitions {\mathbb K} désigne {\mathbb R} ou {\mathbb C}. Pour {n,p\geq1}, {\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)} est l’espace des matrices à {n} lignes et {p} colonnes, et {\mathcal M_n(\mathbb K)=\mathcal M_{n,n}(\mathbb K)}.
La matrice {|A|} a pour coefficients {|A_{ij}|}. Les inégalités entre matrices réelles sont comprises coefficient par coefficient : {A\geq0} signifie que tous ses coefficients sont positifs ou nuls, et {A>0} qu’ils sont tous strictement positifs. Les notations {A\geq B}, {A>B}, {A\leq B} et {A\lt B} se déduisent de cette convention.
On peut utiliser les propriétés suivantes, dès que les opérations sont définies : {\begin{array}{l}|A+B|\leq|A|+|B|,\\[8pt]|A^{\mathsf T}|=|A|^{\mathsf T},\ \gamma A|=|\gamma||A|,\\[8pt]A\geq0,\ B\geq0\ \Longrightarrow\ AB\geq0.\end{array}}Pour deux vecteurs colonnes réels, le produit scalaire et sa norme associés sont {(X\!\mid\! Y)\!=\!X^{\mathsf T}Y\!=\!\sum_{k=1}^nX_kY_k,\ \|X\|\!=\!\left(\sum_{k=1}^nX_k^2\right)^{1/2}}On note {\operatorname{sp}(A)} le spectre de {A}. Lorsque ce spectre est non vide, son rayon spectral est {\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{sp}(A)\}.}Une norme {N} sur {\mathcal M_n(\mathbb K)} est dite sous-multiplicative si {N(AB)\leq N(A)N(B)} pour toutes matrices {A,B}.
I — Résultats préliminaires
Q 1. Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et {X\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)}. Montrer que {A>0}, {X\geq0} et {X\ne0} impliquent {AX>0}, et que {|AB|\leq|A||B|}.
Q 2. Rappeler Cauchy-Schwarz pour deux vecteurs réels {X,Y}. En déduire que, pour des complexes {z_1,\ldots,z_n,w_1,\ldots,w_n}, {\sum_{k=1}^n|z_k||w_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|z_k|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n|w_k|^2\right)^{1/2}.}
Q 3. Si {z\in\mathbb C} vérifie {|1+z|=1+|z|}, montrer que {z\in\mathbb R_+}. En déduire que {|z+z'|=|z|+|z'|} et {z\ne0} impliquent {z'=\alpha z} pour un {\alpha\geq0}.
Q 4. Soient {n\geq2} et des complexes {z_1,\ldots,z_n} non tous nuls tels que {|\sum\limits_{k=1}^nz_k|=\sum\limits_{k=1}^n|z_k|}. Montrer qu’il existe {\theta\in\mathbb R} tel que {z_k=\mathrm e^{\mathrm i\theta}|z_k|} pour tout {k}.
Si {z_1\ne0}, on pourra appliquer Q3 aux couples {(z_1,z_k)}.
Q 8. Montrer que {(A^k)_{k\geq1}} converge vers une matrice {L} non nulle si et seulement si {\mu=1}. En cas de convergence, préciser le rang de {L} et montrer que {L} représente un projecteur de {\mathbb R^2}.
Q 9. Soient {\alpha,\beta\in]0,1[} et {B=\begin{pmatrix}1-\alpha&\beta\\[8pt]\alpha&1-\beta\end{pmatrix}.}Montrer que {B} est semblable à {D=\operatorname{diag}(1,1-\alpha-\beta)} et donner une matrice inversible {S} telle que {B=SDS^{-1}}.
III — Normes sous-multiplicatives et rayon spectral
III.A — Exemples de normes sous-multiplicatives
Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}, on pose {\|A\|_\infty=\max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^n|A_{ij}|,}{\|A\|_2=\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n|A_{ij}|^2\right)^{1/2}.}
Q 11. Montrer que {\|\cdot\|_\infty} est une norme sous-multiplicative sur {\mathcal M_n(\mathbb C)}.
Q 15. Justifier que {A} est trigonalisable. Comparer, pour {k\geq1}, {\rho(A^k)} et {\rho(A)^k}, et, pour {\alpha\in\mathbb C}, {\rho(\alpha A)} et {\rho(A)}.
Q 16. Montrer que {\rho(A)\leq N(A)} pour toute norme sous-multiplicative {N}. On pourra choisir une valeur propre {\lambda} et une matrice non nulle {H} telle que {AH=\lambda H}.
III.B.2)
On veut montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une norme sous-multiplicative {N}, dépendant de {A} et de {\varepsilon}, telle que {N(A)\leq\rho(A)+\varepsilon}.
Pour {\tau>0}, on introduit {D_\tau=\operatorname{diag}(1,\tau,\ldots,\tau^{n-1}),}et on considère une matrice triangulaire supérieure {T}.
Q 17. Calculer les coefficients de {D_\tau^{-1}TD_\tau} en fonction de {\tau} et de ceux de {T}.
Q 18. Montrer qu’il existe {\delta>0} tel que, pour tout réel {\tau} vérifiant {|\tau|\leq\delta}, {\|D_\tau^{-1}TD_\tau\|_\infty\leq\rho(T)+\varepsilon.}
On admet l’extension des résultats de Perron-Frobenius à toute matrice réelle strictement positive, même non symétrique : son rayon spectral est une valeur propre simple, seule de module maximal, et l’espace propre correspondant est une droite possédant un vecteur strictement positif.
Soient désormais {A\in\mathcal M_n(\mathbb C)} quelconque et {B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} strictement positive.
Q 34. Montrer que le spectre de {A} est contenu dans la réunion des disques {\left\{z\in\mathbb C:|z-A_{ii}|\leq\sum_{j\ne i}|A_{ij}|\right\},\ 1\leq i\leq n.}
On suppose désormais que {|A_{ij}|\leq B_{ij}} pour tous les couples d’indices distincts {i,j}.
Q 35. Montrer que {\operatorname{sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\{z\in\mathbb C:|z-A_{ii}|\leq\rho(B)-B_{ii}\}.}On pourra choisir un vecteur propre strictement positif {X} de {B} associé à {\rho(B)} et utiliser {D^{-1}AD}, avec {D=\operatorname{diag}(X_1,\ldots,X_n)}.