2022-E3A-Psi-Corrigé

E3A-Polytech 2022 — PSI — Mathématiques

Le sujet comporte quatre exercices indépendants.

Exercice 1

1. Déterminer deux réels {a,b} tels que, pour tout entier {n\ge1}, {\frac3{n(n+3)}=\frac an+\frac b{n+3}.}
2. Déterminer le réel {\alpha} pour lequel il existe une variable aléatoire {X} à valeurs dans {\mathbb N^*} vérifiant {\mathbb P(X=n)=\frac{3\alpha}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\quad(n\ge1).}

3. Espérance et variance de X

3.1. Après en avoir justifié l’existence, déterminer {\mathbb E(X)}. On pourra utiliser {2=(n+3)-(n+1)} pour introduire un télescopage.
3.2. Déterminer {\mathbb E(X(X+1))}.
3.3. En déduire la variance de {X}.

Exercice 2

Soient {n\ge1} et {E_n=\mathbb R_n[X]}, l’espace des polynômes réels de degré au plus {n}.

1. Donner, sans démonstration, une autre expression de {\sum\limits_{k=0}^rq^k}, où {q\in\mathbb R} et {r} est un entier non nul.
2. Pour un entier non nul {p}, déterminer dans {\mathbb R[X]} le quotient et le reste de la division euclidienne de {X^p-1} par {X-1}.
3. Pour {P\in E_n}, montrer qu’il existe un unique {Q\in E_n} tel que {\forall x\ne1,\quad Q(x)=\frac1{x-1}\int_1^xP(t)\,dt.}

On définit ainsi l’application {f:E_n\to E_n}, {P\mapsto Q}.

4. Montrer que {f} est un endomorphisme de {E_n}.
5. Montrer que {f} est un automorphisme et exprimer {f^{-1}(Q)} à l’aide de {Q} et de ses dérivées.
6. Déterminer la matrice {A} de {f} dans la base canonique {\mathcal B=(1,X,\ldots,X^n)}, ainsi que {A^{-1}}.
7. Déterminer les spectres de {A} et de {A^{-1}}.
8. Les matrices {A} et {A^{-1}} sont-elles diagonalisables ?
9. Soit {\alpha\in\mathbb C} une racine de multiplicité {k\ge1} d’un polynôme {Q\in E_n}. À quelles conditions {\alpha} est-il racine de {f^{-1}(Q)}, et avec quelle multiplicité ?

On pourra distinguer {\alpha=1} et {\alpha\ne1}.

10. Déterminer les sous-espaces propres de {f^{-1}}.
11. Montrer que les sous-espaces propres de {f^{-1}} sont aussi ceux de {f}.

Exercice 3

1. Question de cours. Soit {f} une fonction réelle continue et {T}-périodique sur {\mathbb R}. Montrer que {\forall x\in\mathbb R,\quad\int_x^{x+T}f(u)\,du=\int_0^Tf(u)\,du.}

On cherche des fonctions {y\in\mathcal C^2(\mathbb R)} vérifiant {xy''(x)+y'(x)-4xy(x)=0.\tag{**}}

2. Recherche d’une solution en série entière

On suppose qu’une fonction {g} vérifiant (**) admet un développement {g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n} de rayon strictement positif, avec {a_0=g(0)=1}.

2.1. Montrer que {a_1=0} et déterminer, pour {n\ge1}, une relation entre {a_{n+1}} et {a_{n-1}}.
2.2. Déterminer {a_n} pour tout entier naturel {n}.
2.3. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction {g} ainsi obtenue.

On définit sur {\mathbb R} la fonction {F(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{2x\cos t}\,dt.}

3. Quelques propriétés de F

3.1. Étudier la parité de {F}. On pourra poser {u=\pi-t} et utiliser la question de cours.

3.2. Pour {(x,t)\in\mathbb R\times[0,2\pi]}, on pose {h(x,t)=e^{2x\cos t}}.

3.2.1. Justifier que {h} est de classe {\mathcal C^1} sur {\mathbb R\times[0,2\pi]}.
3.2.2. Pour tout entier {k\ge1}, montrer que {\partial^kh/\partial x^k} existe et est continue sur {\mathbb R\times[0,2\pi]}.
3.2.3. Pour un segment {I\subset\mathbb R} et tout entier {k\ge1}, montrer qu’il existe {M_k\ge0} tel que {\forall(x,t)\in I\times[0,2\pi],\quad\left|\frac{\partial^kh}{\partial x^k}(x,t)\right|\le M_k.}
3.2.4. En déduire que {F} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R}.
3.2.5. Donner, pour {x\in\mathbb R} et {k\ge1}, une expression intégrale de {F^{(k)}(x)}.
3.3. Montrer que {F} vérifie (**).

4. Développement en série entière de F

4.1. Donner le développement en série entière de l’exponentielle au voisinage de zéro et son domaine de validité.
4.2. Montrer qu’il existe une suite réelle {(I_n)} telle que {F(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}I_nx^n} pour tout réel {x}, et exprimer {I_n} à l’aide de {J_n=\int_0^{2\pi}\cos^nt\,dt}.

Justifier précisément les théorèmes utilisés.

4.3. Calculer {J_0} et {J_1}.
4.4. Pour {n\ge2}, déterminer une relation de récurrence entre {J_n} et {J_{n-2}}.
4.5. En déduire une expression de {J_n} en fonction de {n}.
4.6. Comparer les fonctions {F} et {g}.

Exercice 4

Soit {n\ge2}. On note {\mathcal M_n(\mathbb R)} l’espace des matrices réelles carrées de taille {n}, {O_n} la matrice nulle, {I_n} la matrice identité et {\mathcal O_n(\mathbb R)} l’ensemble des matrices orthogonales. La transposée d’une matrice {M} est notée {M^T}.

1. Question de cours. Montrer que {\mathcal O_n(\mathbb R)} est stable par transposition et par multiplication.

Partie 1

2. Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)} et {\lambda\in\mathbb R}, on considère les matrices par blocs {U=\begin{pmatrix}\lambda I_n&-B\\[8pt]-A&I_n\end{pmatrix},\quad V=\begin{pmatrix}I_n&B\\[8pt]O_n&\lambda I_n\end{pmatrix}.}

2.1. Calculer {UV} et {VU}.
2.2. Montrer que {AB} et {BA} ont le même polynôme caractéristique.
3. Montrer que, pour toute matrice réelle {M}, la matrice {M^TM} est diagonalisable dans une base orthonormale de {\mathbb R^n}.
4. Montrer qu’il existe {R\in\mathcal O_n(\mathbb R)} tel que {M^TM=R^TMM^TR}.

Partie 2

On note {\Delta_n} l’ensemble des matrices {M} pour lesquelles il existe {Q\in\mathcal O_n(\mathbb R)} tel que {Q^TMQ=M^T}. Une telle matrice est dite orthotransposable.

On rappelle la décomposition {\mathcal M_n(\mathbb R)=\mathcal S_n\oplus\mathcal A_n}, où {\mathcal S_n} est l’espace des matrices symétriques et {\mathcal A_n} celui des matrices antisymétriques.

5. Montrer que {\mathcal S_n\subset\Delta_n}.
6. Montrer que {Q^{-1}AQ\in\mathcal A_n} pour {A\in\mathcal A_n} et {Q\in\mathcal O_n(\mathbb R)}.
7. Montrer que toute matrice réelle {M} s’écrit {M=T(D+A)T^{-1}} avec {T} orthogonale, {D} diagonale et {A} antisymétrique.

8. Cas n = 2

On veut montrer que toute matrice réelle de taille {2} est orthotransposable.

8.1. Déterminer toutes les matrices de taille {2} à la fois orthogonales et diagonales.
8.2. On considère {\mathcal L=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\[8pt]-b&c\end{pmatrix}:(a,b,c)\in\mathbb R^3\right\}.} Déterminer une matrice orthogonale diagonale {W} telle que {L^T=W^TLW} pour tout {L\in\mathcal L}.
8.3. En utilisant Q7, montrer que toute matrice de {\mathcal M_2(\mathbb R)} est orthotransposable.

9. Cas général avec n impair

On suppose désormais {n} impair et on note {[A,B]=AB-BA} pour deux matrices de taille {n}.

9.1. Montrer que, si {M\in\Delta_n}, le commutateur {[M^T,M]} est semblable à son opposé.
9.2. En déduire que {\det([M^T,M])=0} pour toute {M\in\Delta_n}, lorsque {n} est impair.